【題目】如圖，E是正方形ABCD的對角線BD上一點，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分別是F、G．求證：AE=FG．

【答案】證明見解析．

【解析】

試題分析：根據(jù)題意我們不難得出四邊形GEFC是個矩形，因此它的對角線相等．如果連接EC，那么EC=FG，要證明AE=FG，只要證明EC=AE即可．證明AE=EC就要通過全等三角形來實現(xiàn)．三角形ABE和BEC中，有∠ABD=∠CBD，有AB=BC，有一組公共邊BE，因此構(gòu)成了全等三角形判定中的SAS，因此兩三角形全等，得AE=EC，即AE=GF．

試題解析：連接EC．

∵四邊形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD，

∴∠GCF=∠CFE=∠CGE=90°，

∴四邊形EFCG為矩形．

∴FG=CE．

又BD為正方形ABCD的對角線，

∴∠ABE=∠CBE．

在△ABE和△CBE中，

，

∴△ABE≌△CBE（SAS）．

∴AE=EC．

∴AE=FG．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，等腰△ABC中，AB=AC．線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE.

（1）當(dāng)∠A=40°時，求∠CBE的度數(shù)；

（2）若△ABC周長為18，底邊BC=4，則△BEC周長為多少？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知△ABC和△A″B″C″及點O．

（1）畫出△ABC關(guān)于點O對稱的△A′B′C′；

（2）若△A″B″C″與△A′B′C′關(guān)于點O′對稱，請確定點O′的位置；

（3）探究線段OC′與線段CC″之間的關(guān)系，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在一個不透明的布袋里裝有4個標有1，2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同，小明從布袋里隨機取出一個小球，記下數(shù)字為x，小紅在剩下的3個小球中隨機取出一個小球，記下數(shù)字為y

（1）計算由x、y確定的點（x，y）在函數(shù)y=﹣x+5的圖象上的概率．

（2）小明和小紅約定做一個游戲，其規(guī)則為：若x、y滿足xy＞6，則小明勝；若x、y滿足xy＜6，則小紅勝，這個游戲公平嗎？請說明理由；若不公平，請寫出公平的游戲規(guī)則．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，點P是菱形ABCD內(nèi)一點，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別是E和F，若PE=PF，下列說法不正確的是（ ）

A. 點P一定在菱形ABCD的對角線AC上

B. 可用HL證明Rt△AEP≌Rt△AFP

C. AP平分∠BAD

D. 點P一定是菱形ABCD的兩條對角線的交點

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將矩形ABCD折疊使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，

（1）求證：四邊形AECF為菱形；

（2）若AB=4，BC=8，求菱形的邊長；

（3）在（2）的條件下折痕EF的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（閱讀）如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，

∠AOC=∠BCO=90°，經(jīng)過點O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處，我們把這個操作過程記為FZ[θ，a]．

（理解）

若點D與點A重合，則這個操作過程為FZ[45°，3]；

（嘗試）

（1）若點D恰為AB的中點（如圖2），求θ；

（2）經(jīng)過FZ[45°，a]操作，點B落在點E處，若點E在四邊形OABC的邊AB上，求出a的值；若點E落在四邊形OABC的外部，直接寫出a的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果點P由B出發(fā)沿BA方向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設(shè)運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時，PQ∥BC．

（2）設(shè)△AQP面積為S（單位：cm2），當(dāng)t為何值時，S取得最大值，并求出最大值．

（3）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

（4）如圖2，把△AQP沿AP翻折，得到四邊形AQPQ′．那么是否存在某時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形？若存在，求出此時菱形的面積；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】取一副三角板按如圖所示拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α（0°＜α≤45°），得到△ABC′．

①當(dāng)α為多少度時，AB∥DC？

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時，α為多少度？

③連接BD，當(dāng)0°＜α≤45°時，探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明．

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