Question

如圖直線y=-x+10與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始在線段AO上以每秒2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．動(dòng)直線EF從x軸開始以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于E、F點(diǎn)．（當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，動(dòng)直線EF隨之停止運(yùn)動(dòng)） 連接FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，求△APF的面積；
（2）設(shè)t的值分別取t₁、t₂時(shí)（t₁≠t₂），所對(duì)應(yīng)的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個(gè)三角形是否相似，請(qǐng)證明你的判斷；
（3）t為何值時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=0或y=0時(shí)，分別求出y的值和x的值，就可以求出OA，OB的值，就可以求出sin∠OAB的值，設(shè)△APF的面積為S，作FD⊥OA于D，運(yùn)用三角函數(shù)值就可以求出三角形的高，根據(jù)三角形的面積公式就可以求出結(jié)論；
（2）作F₁D₁⊥x軸于D₁，F(xiàn)₂D₂⊥x軸于D₂，可以得知F₁D₁=t₁，F(xiàn)₂D₂=t₂，F(xiàn)₁A=

2

t₁，F(xiàn)₂A=

2

t₂，可以求出

F1A

F2A

=

P1A

P2A

，再由∠A=∠A，就可以得出△AF₁P₁∽△AF₂P₂；
（3）由題干條件可以得出OE=t，BE=10-t，可以得出EF=10-t，OP=10-2t，設(shè)梯形OPFE的面積為S，由梯形的面積公式表示出S，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，設(shè)△APF的面積為S，作FD⊥OA于D，
∴∠FDA=90°．
∵線y=-x+10與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=10，當(dāng)y=0時(shí)，x=10，
∴A（10，0），B（0，10），
∴AO=BO=10，
∴AB=10

2

，
∴sin∠BAO=

2

2

．
當(dāng)t=1時(shí)，AP=2，F(xiàn)D=1，
∴S=

2×1

2

=1．

（2）如圖2，作F₁D₁⊥x軸于D₁，F(xiàn)₂D₂⊥x軸于D₂，
∴F₁D₁=t₁，F(xiàn)₂D₂=t₂，
∴F₁A=

2

t₁，F(xiàn)₂A=

2

t₂，
∴

F1A

F2A

=

2 t1

2 t2

=

t1

t2

 ，
∵P₁A=2t₁，P₂A=2t₂，
∴

P1A

P2A

=

2t1

2t2

=

t1

t2

，
∴

F1A

F2A

=

P1A

P2A

．
∵∠A=∠A，
∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂；

（3）設(shè)梯形OPFE的面積為S，
∵OE=t，AP=2t，
∴OP=10-2t，EF=BE=10-t．
∴S=

1

2

（OP+EF）•OE，
=

1

2

（10-2t+10-t）•t
=-

3

2

t²+10t
=-

3

2

（t-

10

3

）²+

50

3

．
∴當(dāng)t=

10

3

（在0＜t＜5范圍內(nèi)）時(shí)，S_最大值=

50

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用及拋物線的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，在求拋物線的最值時(shí)注意要在自變量的取值范圍內(nèi)．