Question

（2013•南通）如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG=4

2

cm，則EF+CF的長(zhǎng)為

5

cm．

Answer 1

分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得內(nèi)錯(cuò)角∠DAE=∠BEA，等量代換后可證得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長(zhǎng)；然后，利用平行線分線段成比例的性質(zhì)分別得出EF，F(xiàn)C的長(zhǎng)，即可得出答案．

解答：解：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=6cm，
∴EC=9-6=3（cm），
∵BG⊥AE，垂足為G，
∴AE=2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4

2

cm，
∴AG=

AB2-BG2

=2（cm），
∴AE=2AG=4cm；
∵EC∥AD，
∴

EF

AE+EF

=

EC

AD

=

FC

FC+CD

=

3

9

=

1

3

，
∴

EF

EF+4

=

1

3

，

FC

FC+6

=

1

3

，
解得：EF=2（cm），F(xiàn)C=3（cm），
∴EF+CF的長(zhǎng)為5cm．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)的掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查，難度適中．