Question

如圖1，在正方形ABCD中，∠ECF的兩邊分別交邊AB、AD于點(diǎn)E、F，且∠ECF=45°．

（1）①求證：BE+DF=EF；
②運(yùn)用①的結(jié)論解決下面問題：如圖2，在直角梯形ABCF中，AF∥BC（BC＞AF），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠FCE=45°，BE=1.5，EF=2.5，求梯形ABCF的面積；
（2）在圖1中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD與CF分別交于點(diǎn)N，連接EN得到圖3．當(dāng)∠ECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，△ECN是什么特殊的三角形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）①把△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=DG，CE=CG，∠BCE=∠DCG，然后求出∠FCG=45°，從而得到∠ECF=∠FCG，再利用“邊角邊”證明△ECF和△GCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=GF，再求出GF=BE+DF即可得證；
②設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，表示出AE，再根據(jù)①的結(jié)論表示出AF，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可得到x的值，再求出AF，然后利用梯形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠EBN=∠CBD=45°，然后求出B、C、E、N四點(diǎn)共圓，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠CEN=∠CBD=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CNE=90°，從而得到△ECN是等腰直角三角形．

解答：（1）①證明：如圖，把△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDG，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=DG，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∵∠ECF=45°，
∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠BCE=∠BCD-∠ECF=90°-45°=45°，
∴∠ECF=∠FCG，
在△ECF和△GCF中，

CE=CG ∠ECF=∠FCG CF=CF

，
∴△ECF≌△GCF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，
∴BE+DF=EF；

②解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，
∵BE=1.5，
∴AE=x-1.5，
∵EF=2.5，
∴AF=x-（EF-BE）=x-（2.5-1.5）=x-1，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
即（x-1.5）²+（x-1）²=2.5²，
整理得，2x²-5x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-

1

2

（舍去），
所以，AF=3-1=2，
梯形ABCF的面積=

1

2

×（2+3）×3=

15

2

；

（2）△ECN是等腰直角三角形．
理由如下：在正方形ABCD中，∠EBN=∠CBD=45°，
又∵∠ECF=45°，
∴∠ECN=∠ECF，
∴B、C、E、N四點(diǎn)共圓，
∴∠CEN=∠CBD=45°，
∴∠CEN=∠ECN=45°，
在△CEN中，∠CNE=180°-∠CEN-∠ECN=180°-45°-45°=90°，
∴△ECN是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形綜合題型，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，（2）利用四點(diǎn)共圓求解更加簡(jiǎn)便．