4.為了響應國家“自主創(chuàng)業(yè)”的號召,某大學畢業(yè)生開辦了一個裝飾品商店,采購了一種今年剛上市的飾品進行了30天的試銷,購進價格為20元/件,銷售結束后,得知日銷售量P(件)與銷售時間x(天)之間的關系如圖(1)所示,銷售價格Q(元/件)與銷售時間x(天)之間的關系如圖(2)所示.

(1)根據(jù)圖象直接寫出:日銷售量P(件)與銷售時間x(天)之間的函數(shù)關系式為P=-2x+80;銷售單價
Q(元/件)與銷售時間x(天)的函數(shù)關系式為Q=$\frac{1}{2}$x+30.(不要求寫出自變量的取值范圍)
(2)寫出該商品的日銷售利潤W(元)和銷售時間x(天)之間的函數(shù)關系式;(不要求寫出自變量的取值范圍)
(3)請問在30天的試銷售中,哪一天的日銷售利潤最大?并求出這個最大利潤.

分析 (1)設P=kx+80,將(30,20)代入可求出k的值,得出日銷售量P(件)與銷售時間x(天)之間的函數(shù)關系式;設Q=mx+30,將(30,45)代入可求出m的值,得出Q(元/件)與銷售時間x(天)的函數(shù)關系式;
(2)根據(jù)銷售問題中的基本等量關系:銷售利潤=日銷售量×(一件的銷售價-一件的進價),建立函數(shù)關系式;
(3)將(2)中函數(shù)關系式配方可得其頂點式,結合自變量x的范圍,根據(jù)二次函數(shù)的性質可得函數(shù)的最值情況.

解答 解:(1)設P=kx+80,將(30,20)代入,
得20=30k+80,解得k=-2,
所以日銷售量P(件)與銷售時間x(天)之間的函數(shù)關系式為P=-2x+80;
設Q=mx+30,將(30,45)代入,
得45=30m+30,解得m=$\frac{1}{2}$,
所以Q(元/件)與銷售時間x(天)的函數(shù)關系式為Q=$\frac{1}{2}$x+30.
故答案為P=-2x+80,Q=$\frac{1}{2}$x+30;

(2)根據(jù)題意,得W=P(Q-20)=(-2x+80)[($\frac{1}{2}$x+30)-20]=-x2+20x+800(1≤x≤30,且x為正整數(shù)),
即W=-x2+20x+800;

(3)∵w=-x2+20x+800=-(x-10)2+900,
∴當x=10時,W取最大值為900.
∴在30天的試銷中,第10天的日銷售利潤最大,最大利潤為900元.

點評 此題考查了二次函數(shù)的應用,待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,根據(jù)營銷問題中的基本等量關系建立函數(shù)關系式是解題關鍵.

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