Question

如圖,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于點(diǎn)G,現(xiàn)將△AEG沿AE折疊得到△AEB,將△AFG沿AF折疊得到△AFD,延長BE和DF相交于點(diǎn)C．

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的長．（12分）

 

Answer 1

【答案】

（1）可通過矩形中兩邊相等從而得出該四邊形為正方形。

（2）MN²=ND²+DH²  （3）AG=12，MN=5

【解析】

試題分析：(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,

由AB=AD，得四邊形ABCD是正方形.

(2)MN²=ND²+DH².

理由：連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，

∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°,

再證△AMN≌△AHN，得MN=NH， 

∴MN²=ND²+DH².

(3)設(shè)AG=x，則EC=x-4,CF=x-6,

由Rt△ECF，得(x-4)²+(x-6)²=100,x₁=12,x₂=-2(舍去) ∴AG=12.

由AG=AB=AD=12,得BD=12,∴MD=9,

設(shè)NH=y,由Rt△NHD,得y²=(9-y)²+(3)²,y=5,即MN=5.

考點(diǎn)：四邊形的性質(zhì)和判定及勾股定理

點(diǎn)評：對于證明題，學(xué)生可采用逆向思維驗(yàn)證，對于求邊相等的，可采用全等三角形，求取邊的具體長度的，勾股定理是首要選擇。