Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點C，作CD⊥AD，垂足為D，直線CD與AB的延長線交于點E．
（1）求證：直線CD為⊙O的切線；
（2）當AB=2BE，且CE=時，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，連接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性質得到∠OCA=∠CAB，接著利用平行線的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切線的判定定理即可證明CD為⊙O的切線；
（2）由AB=2BO，AB=2BE得到BO=BE=CO，設BO=BE=CO=x，所以OE=2x，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出關于x的方程，解方程求出x，最后利用三角函數(shù)的定義即可求解．
解答：（1）證明：如圖，連接OC
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD∥CO，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是○O直徑且C在半徑外端，
∴CD為⊙O的切線；

（2）解：∵AB=2BO，AB=2BE，
∴BO=BE=CO，
設BO=BE=CO=x，
∴OE=2x，
在Rt△OCE中，
根據勾股定理得：OC²+CE²=OE²，即x²+（）²=（2x）²
∴x=1，
∴AE=3，∠E=30°，
∴AD=．
點評：此題主要考查了切線的判定與性質，同時也利用了圓周角定理及勾股定理，首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的性質、勾股定理列出方程解決問題．