Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CK交AB于P，D為上一點，且∠CPD=∠BPD=60°，連OC、OD．
（1）求證：∠OCK=∠ODP；
（2）若PC=4，PO=6，求S_△POD．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)∠CPD=∠BPD=60°，進而得出∠KPO=60°，再利用角平分線的性質得出EO=OF，再利用HL定理得出Rt△OEC≌Rt△OFD即可得出答案；
（2）首先利用直角三角形中30°所對邊等于斜邊的一半得出PE的長，進而得出EC=EK=7，PK=10，再利用全等三角形的判定得出△OPD≌△OPK，即可得出S_△POD=S_△POK進而求出即可．
解答：（1）證明：如圖所示：
作OE⊥CK于E，OF⊥PD于F，
∵∠CPD=∠BPD=60°，
∴∠KPB=180°-60°-60°=60°，
∵OE⊥CK，OF⊥PD，
∴EO=OF，∠OEC=∠OFD=90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），
∴∠OCK=∠ODP；

（2）解：如圖所示：連接OK，∵∠KPB=60°，∠OEP=90°，
∴∠EOP=30°，
∴PE=PO=×6=3，
EO==3，
∵PC=4，
∴EC=EK=7，PK=10，
∵KO=CO，
∴∠OKC=∠OCK，
∵∠OCK=∠ODP，
∴∠K=∠ODP，
∴∠KOP=∠POD，
在△OPD和△OPK中，
，
∴△OPD≌△OPK，
∴S_△POD=S_△POK=×EO×PK=×10×3=30．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及垂徑定理和勾股定理等知識，根據(jù)已知轉換圖形得出S_△POD=S_△POK是解題關鍵．