Question

如圖，已知邊長為3的等邊△ABC，點(diǎn)F在邊BC上，CF＝1，點(diǎn)E是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，以線段EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，直線EG，F(xiàn)G交直線AC于點(diǎn)M，N，

(1)寫出上圖中與△BEF相似的三角形；

(2)證明其中一對三角形相似；

(3)設(shè)BE＝x，MN＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(4)若AE＝1，試求△GMN的面積．

Answer 1

答案：
解析：

答：(1)△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；　　3分 　　證：(2)在△BEF與△AME中， 　　∵∠B＝∠A＝60°， 　　∴∠AEM＋∠AME＝120°　　1分 　　∵∠GEF＝60°，∴∠AEM＋∠BEF＝120° 　　∴∠BEF＝∠AME　　1分 　　∴△BEF∽△AME　　1分 　　解：(3)()當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)M、N在線段AC上時(shí)，如下圖， 　　∵△BEF∽△AME，∴BE∶AM＝BF∶AE， 　　即：x∶AM＝2∶(3－x)，∴AM＝， 　　同理可證△BEF∽△CFN；∴BE∶CF＝BF∶CN， 　　即：x∶1＝2∶CN，∴CN＝ 　　∵AC＝AM＋MN＋CN，∴3＝＋y＋ 　　∴　()　　1分＋1分 　　(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)G在△ABC內(nèi)時(shí)，如備用圖一， 　　同上可得：AM＝，CN＝ 　　∵AC＝AM＋CN－MN，∴3＝＋－y 　　∴　()　　1分＋1分 　　(ⅲ)當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長線上時(shí)，如備用圖二， 　　AM＝，CN＝ 　　∵AC＝MN＋CN－AM，∴3＝y(tǒng)＋－ 　　∴　(x＞3)　　1分＋1分 　　綜上所述：() 　　或∴(x≥1)； 　　(4)()當(dāng)AE＝1時(shí)，是邊長為1等邊三角形， 　　∴；　　1分 　　(ⅱ)當(dāng)AE＝1時(shí)，是有一個(gè)角為30°的Rt△，∵x＝4，∴y＝，NG＝， 　　∴．　　1分