Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心為P（x，y）的動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），且與x軸相切于點(diǎn)B．

（1）當(dāng)x＝0時(shí)，求⊙P的半徑；

（2）請(qǐng)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值；

（3）在⊙P運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一位置，使得⊙P與x軸、y軸都相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝（x﹣1）2+1，1；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）或（5，5）．

【解析】

（1）由⊙P與x軸相切且過點(diǎn)A（1，2），可得出y＞0，當(dāng)x＝0時(shí)，利用兩點(diǎn)間的距離公式及半徑相等，可得出關(guān)于y的方程，解之即可得出y值，進(jìn)而可得出⊙P的半徑；

（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式及半徑相等，可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出y的最小值；

（3）由（2）的結(jié)論結(jié)合x＝y，可得出關(guān)于x的方程，解之可得出x的值，進(jìn)而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）∵⊙P與x軸相切，且過點(diǎn)A（1，2），

∴y＞0．

當(dāng)x＝0時(shí)，PB＝PA，即y＝，

等式兩邊同時(shí)平方，得：y2＝1+（2﹣y）2，

整理，得：4y﹣5＝0，

解得：y＝，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，⊙P的半徑為．

（2）由題意得：y2＝（1﹣x）2+（2﹣y）2，

∴y＝x2﹣x+．

∵y＝x2﹣x+＝（x﹣1）2+1，

∵＞0，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最小值，最小值為1．

（3）∵⊙P與x軸、y軸均相切，且過點(diǎn)A（1，2），

∴x＝y＞0．

由（2），得：x＝x2﹣x+，

整理，得：x2﹣6x+5＝0，

解得：x1＝1，x2＝5，

∴y1＝1，y2＝5，

∴在⊙P運(yùn)動(dòng)過程中，存在某一位置，使得⊙P與x軸、y軸都相切，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）或（5，5）．