Question

【題目】已知：如圖，菱形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，且BE=BF=DH=DG．

(1)求證：四邊形EFGH是矩形；

(2)已知∠B=60°，AB=6．

請從A，B兩題中任選一題作答，我選擇　 　題．

A題：當(dāng)點E是AB的中點時，矩形EFGH的面積是　 　．

B題：當(dāng)BE=　 　時，矩形EFGH的面積是8．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）A或B；A題：9；B題：2或4．

【解析】

（1）根據(jù)題意與菱形的性質(zhì)證得∠AEH+∠BEF=（180°﹣∠A）+（180°﹣∠B）=90°，同法可證：∠EFG=∠EHG=90°，根據(jù)矩形的判定即可得證；

（2）A題：連接AC，BD交于點O．根據(jù)題意與菱形的性質(zhì)可得△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得個邊長的長度，然后根據(jù)矩形的面積公式求解即可；

B題：設(shè)BE=x，則AE=6﹣x，EF=x，EH=（6﹣x），根據(jù)題意可列出關(guān)于x的方程，然后解方程即可.

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AB=BC=CD=AD，

∴∠A+∠B=180°，

∵BE=BF=DH=DG，

∴AE=AH=CF=CG，

∴∠AEH=∠AHE=（180°﹣∠A），∠BEF=∠BFE=（180°﹣∠B），

∴∠AEH+∠BEF=（180°﹣∠A）+（180°﹣∠B）=90°，

同法可證：∠EFG=∠EHG=90°，

∴四邊形EFGH是矩形；

（2）解：A題：連接AC，BD交于點O．

∵AE=BE，

∴AH=DH，BF=CF，CG=GD，

∴EF=AC，EH=BD，

∵AB=BC=6，∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB=6，

∵OB⊥AC，

∴OB=3，BD=2OB=6，

∴EF=3，EH=3，

∴S矩形EFGH=EFEH=9．

故答案為9；

B題：設(shè)BE=x，則AE=6﹣x，EF=x，EH=（6﹣x），

由題意：x（6﹣x）=8，

解得x=4或2，

∴BE=2或4．