【題目】如圖，在△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝AC＝3，點(diǎn)E是三角形ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且滿足則點(diǎn)E 在運(yùn)動過程中所形成的圖形的長為 （ ）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

如圖，將△AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△AFB，首先證明∠AFB＝120°，推出E的軌跡為圓，進(jìn)而可通過弧長計算出結(jié)果．

解：將△AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)120°，使得AC與AB重合，得到△AFB，連接EF，過點(diǎn)A作AM⊥EF，過點(diǎn)O作ON⊥AC

由旋轉(zhuǎn)可知：AE=AF，∠EAF=120°BF=CE

∴∠AEF=∠AFE=30°

∴在Rt△AEM中，EM=；在Rt△AFM中，MF=

∴EF=，即

∵

∴

∴∠EFB=90°

∴∠AFB＝120°,

則∠AEC＝120°為定角所對AC＝3為定長

又因?yàn)辄c(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，

所以E的軌跡為弧GA的長度

當(dāng)點(diǎn)E在G點(diǎn)時，∠CGA=120°

∴∠GOA＝60°

∴在Rt△OAN中，

∴，解得

所以E的軌跡長為，

故選：B．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“垃圾分類就是新時尚”．樹立正確的垃圾分類觀念，促進(jìn)青少年養(yǎng)成良好的文明習(xí)慣，對于增強(qiáng)公共意識，提升文明素質(zhì)具有重要意義．為了調(diào)査學(xué)生對垃圾分類知識的了解情況，從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行了相關(guān)知識測試，獲得了他們的成績（百分制，單位：分），并對數(shù)據(jù)（成績）進(jìn)行了整理、描述和分析，下面給出了部分信息．

a．甲、乙兩校學(xué)生樣本成績頻數(shù)分布表及扇形統(tǒng)計圖如下：

甲校學(xué)生樣本成績頻數(shù)分布表（表1）

成績m（分）

頻數(shù)

頻率

0.10

4

0.20

7

0.35

2

合計

20

1.0

b．甲、乙兩校學(xué)生樣本成績的平均分、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表所示：（表2）

平均分

學(xué)校

中位數(shù)

眾數(shù)

方差

甲

76.7

77

89

150.2

乙

78.1

80

135.3

其中，乙校20名學(xué)生樣本成績的數(shù)據(jù)如下：

54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 68 91

請根據(jù)所給信息，解答下列問題：

（1）表1中___________；表2中的眾數(shù)_________；

（2）乙校學(xué)生樣本成績扇形統(tǒng)計圖（圖1）中，這一組成績所在扇形的圓心角度數(shù)是_________度；

（3）在此次測試中，某學(xué)生的成績是79分，在他所屬學(xué)校排在前10名，由表中數(shù)據(jù)可知該學(xué)生是________校的學(xué)生（填“甲”或“乙”），理由是________________________；

（4）若乙校1000名學(xué)生都參加此次測試，成績80分及以上為優(yōu)秀，請估計乙校成績優(yōu)秀的學(xué)生約為________人．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)．

（1）求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市在黨中央實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策的號召下，大力開展科技扶貧工作，幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷售公司，某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產(chǎn)品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是如圖②所示的一條線段，生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所獲毛利潤為w萬元．（毛利潤=銷售額﹣生產(chǎn)費(fèi)用）

（1）請直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求年產(chǎn)量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤是多少？

（3）由于受資金的影響，今年投入生產(chǎn)的費(fèi)用不會超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，中，，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O為圓心，OB長為半徑作⊙O，與BC交于點(diǎn)D，連結(jié)AD，已知．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若BC=8，，求⊙O的半徑．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】今年的新冠疫情爆發(fā)，使很多農(nóng)作物積壓沒法正常銷售。為解決農(nóng)民的困難，我市某食品加工公司主動分兩次采購了一批竹筍， 第一次花費(fèi)40萬元，第二次花費(fèi)60萬元。已知第一次采購時每百千克竹筍的價格比去年的平均價格上漲了500元，第二次采購時每百千克竹筍的價格比去年的平均價格下降了500元，第二次的采購數(shù)量是第一次采購數(shù)量的兩倍．

（1）試問去年每百千克竹筍的平均價格是多少元；

（2）該公司可將竹筍加工成筍干或罐頭（濕筍），若單獨(dú)加工成筍干，每天可加工8百千克竹筍，每百千克竹筍獲利1000元； 若單獨(dú)加工成罐頭，每天可加工12百千克竹筍，每百千克竹筍獲利600元，由于市場需要，所有采購的竹筍必需在30天內(nèi)加工完畢，且加工筍干的竹筍數(shù)量不少于加工罐頭的竹筍數(shù)量的一半，為獲得最大利潤，應(yīng)將多少百千克竹筍加工成筍干？最大利潤為多少．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，AD是△ABC的中線，過點(diǎn)C作直線CF∥AD．

（問題）如圖①，過點(diǎn)D作直線DG∥AB交直線CF于點(diǎn)E，連結(jié)AE，求證：AB＝DE．

（探究）如圖②，在線段AD上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線PG∥AB交直線CF于點(diǎn)E，連結(jié)AE、BP，探究四邊形ABPE是哪類特殊四邊形并加以證明．

（應(yīng)用）在探究的條件下，設(shè)PE交AC于點(diǎn)M．若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，且△APM的面積為1，直接寫出四邊形ABPE的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”．請研究如下美麗的圓．如圖，線段AB是⊙O的直徑，延長AB至點(diǎn)C，使BC＝OB，點(diǎn)E是線段OB的中點(diǎn)，DE⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)P是⊙O上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接CD，PE，PC．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)是一個確定的值．回答這個確定的值是多少？并對小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知⊙O的半徑是2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若四邊形OABC為菱形，則圖中陰影部分面積為（　�。�

A.π﹣2B.π﹣C.π﹣2D.π﹣

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