Question

【題目】已知，拋物線y=ax-2amx+am2+2m-5與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)（x1<x2）兩點，頂點為P．

（1）當a=1，m=2時，求線段AB的長度；

（2）當a=2，若點P到x軸的距離與點P到y軸的距離相等，求該拋物線的解析式；

（3）若a= ，當2m-5≤x≤2m-2時，y的最大值為2，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）或；（3）或10+2

【解析】

（1）把a=1，m=2代入二次函數(shù)解析式得y＝x2﹣4x+3，然后令y=0得到方程x2﹣4x+3=0并求解，即可求得AB的長度；

（2）把a=2代入二次函數(shù)解析式，通過配方，可表示出點P的坐標，根據(jù)題意建立方程并解出m的值，即可得出二次函數(shù)解析式；

（3）結合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分m＞2m﹣2、2m﹣5≤m≤2m﹣2、m＜2m﹣5三種情況求解即可．

解：（1）當a=1，m=2時，y＝x2﹣4x+3，

當y=0時，x2﹣4x+3=0，，

∴AB=3-1=2；

（2）當a=2時，y=2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5=，

∵頂點為P，∴P（m，2m-5），

∴點P在直線 y=2x-5上，

∵點P到x軸的距離與點P到y軸的距離相等，

∴當點P在第一象限時，m=2m-5，解得m=5，該拋物線的解析式為：；

當點P在第四象限時，m=-（2m-5），解得m=，

該拋物線的解析式為：；

（3）當a=時，拋物線的解析式為y=（x-m）2+2m﹣5，

分三種情況考慮：

①當m＞2m﹣2，即m＜2時，有（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，

整理，得：m2﹣14m+39＝0，

解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；

②當2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5時，有2m﹣5＝2，

解得：m＝；

③當m＜2m﹣5，即m＞5時，有（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，

整理，得：m2﹣20m+60＝0，

解得：m3＝10-2（舍去），m4＝10+2．

綜上所述：m的值為或10+2．