Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)交y軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，設(shè)△ACD的面積為S₁，△ABC的面積為S₂．小芳經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：S₁：S₂是一個(gè)定值．則這個(gè)定值為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=a（x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a，即可求得C的坐標(biāo)，表示出S₂的值，然后利用待定系數(shù)法求得AD的解析式，進(jìn)而求得E的值，得到CE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式即可求得S₁，進(jìn)而求解．
解答：解：設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=a（x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a．
令x=0，解得：y=-3a，則OC=3a．
∴S₂=AB•OC=×4•3a=6a；
∵D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．
∴D的橫坐標(biāo)是：（-1+3）=1，把x=1代入二次函數(shù)解析式得：y=-4a，則D的坐標(biāo)是（1，-4a）．
設(shè)直線(xiàn)AD的解析式是y=kx+b．
根據(jù)題意得：
解得：k=b=-2a
則直線(xiàn)AD的解析式是：y=-2ax-2a．
在y=-2ax-2a中，令x=0，解得：y=-2a．
則CE=3a-2a=a．
∴S₁=S_△ACE+S_△CDE=CE×a+CE×a=a．
∴S₁：S₂=a：6a=．
故答案是：．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)與三角形的綜合應(yīng)用，正確設(shè)出二次函數(shù)的解析式，表示出兩個(gè)三角形的面積是解題的關(guān)鍵．