Question

12．如圖，直角三角板ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊AB垂直x軸，垂足為Q，已知∠ACB=60°，點(diǎn)A，C，P均在反比例函數(shù)y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的圖象上，分別作PF⊥x軸于F，AD⊥y軸于D，延長DA，F(xiàn)P交于點(diǎn)E，且點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求四邊形AOPE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠ACB=60°，求出tan60°=$\frac{AQ}{OQ}$=$\sqrt{3}$，設(shè)點(diǎn)A（a，b），根據(jù)點(diǎn)A，C，P均在反比例函數(shù)y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的圖象上，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）先求出AQ、PF的長，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，n），則n=$\sqrt{3}$，根據(jù)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的圖象上，求出m和S_△OPF，再求出S_{長方形DEFO}，最后根據(jù)S_{四邊形AOPE}=S_{長方形DEFO}-S_△AOD-S_△OPF，代入計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=60°，
∴∠AOQ=60°，
∴tan60°=$\frac{AQ}{OQ}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)點(diǎn)A（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}=\sqrt{3}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{a}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$（不合題意，舍去）
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2$\sqrt{3}$），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-2，-2$\sqrt{3}$），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，-2$\sqrt{3}$），

（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2$\sqrt{3}$），
∴AQ=2$\sqrt{3}$，
∴EF=AQ=2$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)，
∴PF=$\sqrt{3}$，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，n），則n=$\sqrt{3}$
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{m}$，S_△OPF=$\frac{1}{2}$|4$\sqrt{3}$|=2$\sqrt{3}$，
∴m=4，
∴OF=4，
∴S_{長方形DEFO}=OF•OD=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$|4$\sqrt{3}$|=2$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形AOPE}=S_{長方形DEFO}-S_△AOD-S_△OPF=8$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$中k的幾何意義，即圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=$\frac{1}{2}$|k|．