Question

如圖，在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2,圓A的半徑1，點O在BC邊上運動（與點B/C不重合），設BO=X,△AOC的面積是y.

⑴求y關于x的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍；

⑵以點O位圓心，BO為半徑作圓O，求當○O與○A相切時，△AOC的面積.

 

Answer 1

【答案】

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=2 ，

由勾股定理知BC==4，且∠B=∠C，

作AM⊥BC，

則∠BAM=45°，BM=CM=2=AM，

∵BO=x，則OC=4﹣x，

∴S_△AOC=OC•AM=×（4﹣x）×2=4﹣x，

即y=4﹣x （0＜x＜4）；

（2）①作AD⊥BC于點D，

∵△ABC為等腰直角三角形，BC=4，

∴AD為BC邊上的中線，

∴AD==2，

∴S_△AOC=，

∵BO=x，△AOC的面積為y，

∴y=4﹣x（0＜x＜4），

②過O點作OE⊥AB交AB于E，

∵⊙A的半徑為1，OB=x，

當兩圓外切時，

∴OA=1+x，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∴BE=OE=，

∴在△AEO中，AO²=AE²+OE²=（AB﹣BE）²+OE²，

∴（1+x）²=（2﹣）²+（）²，

∴x=，

∵△AOC面積=y=4﹣x，

∴△AOC面積=；

當兩圓內(nèi)切時，

∴OA=x﹣1，

∵AO²=AE²+OE²=（AB﹣BE）²+OE²，

∴（x﹣1）²=（2﹣）²+（）²，

∴x=，

∴△AOC面積=y=4﹣x=4﹣=，

∴△AOC面積為或．

【解析】（1）由∠BAC=90°，AB=AC=2 ，根據(jù)勾股定理即可求得BC，且∠B=∠C，然后作AM⊥BC，由S_△AOC=OC•AM，即可求得y關于x的函數(shù)解析式；

（2）由⊙O與⊙A外切或內(nèi)切，即可求得ON的值，繼而求得△AOC的面積．