Question

【題目】已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠FDE的頂點(diǎn)D在線段BC上，不與B、C重合．

（1）如圖①，若DE∥AC，DF∥AB且點(diǎn)D在BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEDF是什么四邊形并證明？

（2）將∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置，若∠B＝∠C＝∠EDF＝α，BD＝m，CD＝n，設(shè)△BDE的面積為S1，△CDF的面積為S2，求S1S2的值．（用含有m、n、α的代數(shù)式表示）

（3）將∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置，連接EF，若∠B＝∠C＝∠EDF，且EF垂直平分AD，BD＝m，CD＝n，則的值為多少？（要有解答過程）．

Answer 1

【答案】（1）四邊形AEDF是菱形，理由見解析；（2）S1S2＝m2n2．sin2α；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的定義易證四邊形AEDF是平行四邊形，根據(jù)三角形的中位線定理和AB＝AC可得DE＝DF，進(jìn)而可得結(jié)論；

（2）如圖②中，分別過E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，先根據(jù)三角形的面積公式和解直角三角形的知識(shí)得出S1S2＝mnBECFsin2α，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和和已知條件可得∠DEB＝∠FDC，進(jìn)而可證明△BDE∽△CFD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得BEFC與mn的關(guān)系，進(jìn)一步即可得出結(jié)果；

（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠EDF＝∠BAC，進(jìn)而可推出△ABC是等邊三角形，于是AB＝BC＝AC＝m+n，設(shè)AE＝ED＝x，FA＝FD＝y，由△BED∽△CDF可得，代入相關(guān)數(shù)據(jù)后再根據(jù)等比性質(zhì)即可求出結(jié)果．

解：（1）結(jié)論：四邊形AEDF是菱形．

理由：如圖①中，∵BD＝DC，DE∥AC，DF∥AB，

∴AE＝EB，AF＝CF，四邊形AEDF是平行四邊形，

∴DE＝AC，DF＝AB，

∵AB＝AC，∴DE＝DF，

∴四邊形AEDF是菱形；

（2）如圖②中，分別過E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，

則S1＝BDEG＝mBEsinα，S2＝CDFH＝nCFsinα，

∴S1S2＝mnBECFsin2α，

∵∠BDE+∠DEB+∠B＝180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，

∵∠EDF＝∠B，∴∠DEB＝∠FDC，

又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD．

∴，即BEFC＝BDCD＝mn，

∴S1S2＝m2n2sin2α；

（3）如圖③中，∵EF垂直平分線段AD，∴EA＝ED，FA＝FD，

∴∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠FDA，∴∠EDF＝∠BAC，

∵∠B＝∠C＝∠EDF，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝m+n，

設(shè)AE＝ED＝x，FA＝FD＝y，

∵△BED∽△CDF，∴，∴，

∴．

即．