Question

如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點，與軸交于點P，頂點為C（1，-2）.

（1)求此函數(shù)的關(guān)系式；

（2)作點C關(guān)于軸的對稱點D，順次連接A、C、B、D.若在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得△PEF是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點F的坐標(biāo)及△PEF的面積；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

1）∵的頂點為C（1，-2），

∴，．   ————————————————2

2）設(shè)直線PE對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．由題意，四邊形ACBD是菱形.

    故直線PE必過菱形ACBD的對稱中心M． ————————————————1

    由P(0，-1)，M（1，0），得．從而，  ————————2

    設(shè)E(，)，代入，得．

 解之得，，根據(jù)題意，得點E(3，2)      —————————2

3）假設(shè)存在這樣的點F，可設(shè)F(，)．過點F作FG⊥軸，垂足為點G.

在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，

∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP.

∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．

解得，，根據(jù)題意，得F(1，-2)．

故點F(1，-2)即為所求．          ——————————————————3

．     ————————2