Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2cm，AB＝8cm，CD＝10cm．
(1)求梯形ABCD的周長(zhǎng)；
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥BC于點(diǎn)F．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問(wèn)：
在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(1) 28cm(2) 當(dāng)t=或8≤t＜10或10＜t≤12時(shí)，以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形

解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E
∵四邊形ABCD是直角梯形
∴四邊形ABED是矩形
∴AD=BE=2，AB=DE=8
在Rt△DEC中，CE==="6"
∴梯形ABCD的周長(zhǎng)= AB+BC+CD+DA=8+8+10+2=28cm.
………3分
（2） ① 當(dāng)0≤t≤8時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AB于點(diǎn)G
則AP=8－t，DQ=10－t，AD=2，
∵Rt△CQF∽R(shí)t△CDE
∴CF=，QF=，∴PG==，QG=8－
=（8－t）²+2²=t²－16t+68，
PQ²=QG²+PG²=（8－）²+（）²= 
若DQ=PD，則（10－t）²= t²－16t+68，解得：t=8；…………………5分
若DQ=PQ，則（10－t）²=，       
解得：t₁= ，t₂=＞8（舍去），此時(shí)t=；………6分
②當(dāng)8＜t＜10時(shí)，PD=DQ=10－t，                
∴此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立； ……………………7分
③當(dāng)t=10時(shí)，點(diǎn)P、D、Q三點(diǎn)重合，無(wú)法構(gòu)成三角形；………………………8分
④當(dāng)10＜t≤12時(shí)，PD="DQ=" t－10，
∴此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；     ………………………9分
綜上所述，當(dāng)t=或8≤t＜10或10＜t≤12時(shí)，以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形.                ………………………10分
（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，然后求出AD=BE=2，AB=DE=8，在Rt△DEC中，根據(jù)CE= 求出CE，即可求出BC的長(zhǎng)，從而求得梯形ABCD的周長(zhǎng)
（2）（i）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥CB于點(diǎn)F，根據(jù)△CQF∽△CDE得出，所以CF= ，QF= ，所以PG=t= ，QG=8-，然后分別用t表示出PD²=t²-16t+68，PQ²=+64，若DQ=PD，則（10-t）²=t²-16t+68，若DQ=PQ，則（10-t）²=+64，最后解方程即可；
（ii）當(dāng)8＜t＜10時(shí)，PD=DQ=10-t，此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；而當(dāng)t=10時(shí)，點(diǎn)P、D、Q三點(diǎn)重合，無(wú)法構(gòu)成三角形，當(dāng)10＜t≤12時(shí)，PD="DQ=" t－10，此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立，從而得出最后答案；