Question

【題目】(2016山東省聊城市第24題)如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，點E為OB的中點，連接CE并延長交⊙O于點F，點F恰好落在弧AB的中點，連接AF并延長與CB的延長線相交于點G，連接OF．

（1）求證：OF=BG；

（2）若AB=4，求DC的長．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、DC=

【解析】

試題分析：(1)、直接利用圓周角定理結合平行線的判定方法得出FO是△ABG的中位線，即可得出答案；(2)、首選得出△FOE≌△CBE（ASA），則BC=FO=AB=2，進而得出AC的長，再利用相似三角形的判定與性質得出DC的長．

試題解析：(1)、∵以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，點F恰好落在的中點， ∴=，

∴∠AOF=∠BOF， ∵∠ABC=∠ABG=90°， ∴∠AOF=∠ABG， ∴FO∥BG， ∵AO=BO，

∴FO是△ABG的中位線， ∴FO=BG；

(2)、在△FOE和△CBE中，， ∴△FOE≌△CBE（ASA）， ∴BC=FO=AB=2，

∴AC==2， 連接DB， ∵AB為⊙O直徑， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADB=∠ABC，

∵∠BCD=∠ACB， ∴△BCD∽△ACB， ∴=， ∴=， 解得：DC=．