Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B點(diǎn)重合)，以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)、以射線DE為一邊作∠MDN=90°，另一條邊DN與邊AC交于點(diǎn)F．下列結(jié)論中正確結(jié)論是( )

①BE=AF；

②△DEF是等腰直角三角形；

③無論點(diǎn)E、F的位置如何，總有EF=DF+CF成立；

④四邊形AEDF的面積隨著點(diǎn)E、F的位置不同發(fā)生變化．

A.①③B.②③C.①②D.①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由“SAS”可證△BDE≌△ADF，可得BE＝AF，DE＝DF，S△BDE＝S△ADF，即可求解．

解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC．點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC，

∵∠MDN＝90°＝∠ADB，

∴∠BDE＝∠ADF，且BD＝AD，∠B＝∠DAF＝45°，

∴△BDE≌△ADF（SAS）

∴BE＝AF，DE＝DF，S△BDE＝S△ADF，

∴S△BDE+S△ADE＝S△ADF+S△ADE，

∴四邊形AEDF的面積＝S△ABD＝S△ABC，

故①符合題意，④不符合題意，

∵DE＝DF，∠EDF＝90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

故②符合題意，

當(dāng)點(diǎn)F在AC中點(diǎn)時(shí)，可得EF＝BC＝AD，DF+CF＝AC，

∵AD≠AC，

故③不合題意，

故選：C．