Question

已知：等腰三角形ABC的兩腰AC和BC長(zhǎng)為5厘米，底邊AB長(zhǎng)為6厘米，如圖，現(xiàn)有一長(zhǎng)為1厘米的線段MN在△ABC的底邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過(guò)點(diǎn)M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）t=

2

時(shí)，Q點(diǎn)與C重合；此時(shí)PM=

8

3

厘米；
（2）線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，t為何值時(shí)，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積；
（3）線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形MNQP的面積為S，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．求P、Q兩點(diǎn)都在AC邊上時(shí)四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式；
（4）簡(jiǎn)要說(shuō)明從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到終止四邊形MNQP的面積S是如何變化的．

Answer 1

分析：（1）Q點(diǎn)與C重合時(shí)，先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AN=

1

2

AB=3，則AM=AN-MN=2，根據(jù)時(shí)間=路程÷速度求出t的值；然后在Rt△ACN中，運(yùn)用勾股定理得到CN=4，再由PM∥CN，
得出△APM∽△ACN，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求出PM的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．當(dāng)PQ∥AB時(shí)即可得出四邊形MNQP是矩形，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出四邊形MNQP的面積；
（3）P、Q兩點(diǎn)都在AC邊上時(shí)，先利用∠A的正切值表示出PM、QN，然后根據(jù)梯形的面積公式列式整理即可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）分別求出點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上與點(diǎn)P、Q都在BC上時(shí)四邊形MNQP的面積，結(jié)合（3）得出線段MN在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的增減性即可求解．

解答：解：（1）Q點(diǎn)與C重合時(shí)，如圖1．
∵AC=BC=5，AB=6，CN⊥AB，
∴AN=BN=

1

2

AB=3，
∵M(jìn)N=1，
∴AM=AN-MN=3-1=2，
∵M(jìn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1厘米/秒，
∴t=2÷1=2（秒）．
在Rt△ACN中，∵∠ANC=90°，
∴CN=

AC2-AN2

=

52-32

=4．
∵PM∥CN，
∴△APM∽△ACN，
∴

PM

CN

=

AM

AN

，即

PM

4

=

2

3

，
∴PM=

8

3

．
故答案為2，

8

3

；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則AD=3，
當(dāng)MN運(yùn)動(dòng)到被CD垂直平分時(shí)，四邊形MNQP是矩形，
即當(dāng)AM=3-

1

2

=

5

2

時(shí)，四邊形MNQP是矩形，
∴t=

5

2

秒時(shí)，四邊形MNQP是矩形，
∵PM=AMtan∠A=

5

2

×

4

3

=

10

3

，MN=1，
∴S_{四邊形MNQP}=PM•MN=

10

3

．
故t為

5

2

秒時(shí)，四邊形MNQP恰為矩形，此時(shí)矩形的面積為

10

3

平方厘米；

（3）如圖3，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)P、Q都在AC上，并且四邊形PMNQ為直角梯形，
在Rt△AMP中，∵AM=t，tan∠A=

PM

AM

=

4

3

，
∴PM=

4

3

AM=

4

3

t，
在Rt△ANQ中，∵AN=AM+MN=t+1，tan∠A=

QN

AN

=

4

3

，
∴QN=

4

3

AN=

4

3

（t+1），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

4

3

t+

4

3

（t+1）]=

4

3

t+

2

3

；


（4）當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖4，點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上，
∵PM=

4

3

t，BN=AB-AM-MN=6-t-1=5-t，
在Rt△BNQ中，
∵QN=

4

3

BN=

4

3

（5-t），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

4

3

t+

4

3

（5-t）]×1=

10

3

；
當(dāng)3＜t≤5時(shí)，點(diǎn)P、Q都在BC上，
∵BM=6-t，BN=5-t，
∴PM=

4

3

BM=

4

3

（6-t），QN=

4

3

BN=

4

3

（5-t），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

4

3

（6-t）+

4

3

（5-t）]=-

4

3

t+

22

3

．
故S=

4 3 t+ 2 3  (0≤t≤2) 10 3  (2＜t≤3) - 4 3 t+ 22 3 (3＜t≤5)

，
即當(dāng)0≤t≤2時(shí)，四邊形MNQP的面積S隨t的增大而增大，當(dāng)t=2時(shí)，達(dá)到最大值

10

3

；當(dāng)2＜t≤3時(shí)，四邊形MNQP的面積S=

10

3

；當(dāng)3＜t≤5時(shí)，四邊形MNQP的面積S隨t的增大而減�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，涉及到等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定，三角函數(shù)的定義，四邊形的面積，比較復(fù)雜．一般在解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，采取數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論的思想．