Question

如圖：y軸上正半軸上一點O₁為圓心的圓交兩坐標軸與A、B、C、D四點，已知B（-3，0），AB=3

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（1）求O₁的坐標；
（2）過B作BH⊥AC于H交AO于E，求S_△BDE；
（3）作⊙O₁的內(nèi)接銳角△BKJ，作BM⊥KJ與M，作JN⊥BK與N，BM、JK交于H點，當銳角△BKJ的大小變化時，給出下列兩個結(jié)論：①BK²+JH²的值不變；②|BK²-JH²|的值不變．其中有且只有一個結(jié)論是正確的，請你判斷哪一個結(jié)論正確，證明正確的結(jié)論并求出其值．

Answer 1

分析：（1）先得到OA，再利用相交弦定理求出OD，最后得到OO₁，得到O₁的坐標．
（2）要先通過直角△OBE∽直角△OAB求出OE，再求面積．
（3）作含直徑的直角三角形，通過兩次相似以及等式的變化求出BK²+JH²的值．

解答：解：（1）∵AD垂直平分BC，OB=3，AB=3

10

，
∴OA=9；
又∵OA•OD=OB•OC，
∴OD=1，則AD=10，
∴O₁D=5，
∴O₁的坐標為（0，4）．

（2）連接BD，如圖，
∵BH⊥AC，
∴∠1=∠2，而∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴直角△OBE∽直角△OAB，
∴OB²=OE•OA，而OB=3，OA=9，
∴OE=1，則DE=2；
∴S_△BDE=

1

2

×3×2=3

（3）結(jié)論①正確．證明如下：
過B點作直徑BE，連EJ，如圖；
∵BE是直徑，
∴∠BJE=90°，
∵BM⊥KJ，
∴∠BMK=90°；
又∵∠K=∠E，
∴△BEJ∽△KBM，
∴

BK

BE

= 

BM

BJ

，則

BK2

BE2

 = 

BM2

BJ2

；①
∵JN⊥BK，
∴∠MHJ=∠K=∠E，
∴直角△JHM∽直角△BEJ，
∴

JH

BE

 = 

JM

BJ

，則

JH2

BE2

 = 

JM2

BJ2

，②
由①，②得

BK2+ JH2

BE2

=

BM2 + JM2

BJ2

=1，而BE為直徑等于10．
∴BK²+JH²=100．

點評：熟練掌握圓周角定理及其推論．熟悉三角形相似的判定和性質(zhì)定理，對于較為復(fù)雜的問題，一定要認真分析題意和結(jié)論，使推理有方向．