Question

已知A（-2，3），B（3，1），P點在x軸上，若PA+PB長度最小，則最小值為

 

；若PA-PB長度最大，則最大值為

 

．

Answer 1

分析：（1）找到B點關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于點P，即可得到要求的P點，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，找到各點的坐標(biāo)，即可得出答案．
（2）根據(jù)三角形的性質(zhì)，兩邊之差小于第三邊，連接AB交x軸于點P，即可得到要求的P點，則可知AB的長度即為所求．

解答：解：（1）求最小值：如圖所示：
，
作B點關(guān)于x軸的對稱點B'，連接AB′，交x軸于點P，
∵B和B′對稱，
∴PB=PB′，
∴AP+BP=PA+B′P，
根據(jù)兩點之間線段最短可知P點為所求．
∵已知A（-2，3），B（3，1），
∴B′坐標(biāo)為（3，-1），
則可求得最短距離為AB′的長度，AB′=

(3+2)2+(1+3)2

=

41

，
∴PA+PB長度最小，則最小值為

41

．

（2）求最大值：如圖所示：
，
連接AB并延長，交x軸于點P，
任取一點P'，連接AP'、BP'，
在△ABP'中，根據(jù)三角形的性質(zhì)，兩邊之差小于第三邊，
即AP'-BP'＜AB，
∴可知AB為所求的最大值，
∵已知A（-2，3），B（3，1），
AB=

(3+2)2+(3-1)2

=

29

，
∴若PA-PB長度最大，則最大值為

29

．

點評：本題屬于綜合性的試題，包含了一次函數(shù)的應(yīng)用、對稱圖形的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)以及最大值最小值的求法．解決這類題目要求對于所學(xué)的各種知識點要能夠融會貫通，達(dá)到“信手拈來”的地步．