Question

如圖，AB為等腰直角△ABC的斜邊（AB為定長(zhǎng)線段），O為AB的中點(diǎn)，P為AC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段PB的垂直平分線交線段OC于點(diǎn)E，D為垂足，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①E為△ABP的外心；②∠PEB=90°；③PC•BE=OE•PB；④

2

CE+PC=

2

2

AB．

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①由于外心是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，顯然點(diǎn)E是AB、BP兩邊中垂線的交點(diǎn)，因此符合△ABP外心的要求，故①正確；
②此題要通過(guò)①的結(jié)論來(lái)求，連接AE，根據(jù)三角形的外心的性質(zhì)可知：AE=PE=BE，即∠EPA=∠EAP，∠EAB=∠EBA，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可；
③此題顯然要通過(guò)相似三角形來(lái)求解，由于OA=OB，那么可通過(guò)證△OEB∽△CPB來(lái)判斷③的結(jié)論是否正確；
④此題較簡(jiǎn)單，過(guò)E作EM⊥OC，交AC于M，那么MC=

2

CE，因此所求的結(jié)論可轉(zhuǎn)化為證PM是否為定值，觀察圖形，可通過(guò)證△PEM、△BEC是否全等來(lái)判斷．

解答：解：①∵CO為等腰Rt△ABC斜邊AB上的中線，
∴CO垂直平分AB；
又∵DE平分PB，即E點(diǎn)是AB、BP兩邊中垂線的交點(diǎn)，
∴E點(diǎn)是△ABP的外心，故①正確；
②如圖，連接AE；
由①知：AE=EP=EB，則∠EAP=∠EPA，∠EPB=∠EBP，∠EAB=∠EBA；
∵∠PAB=45°，即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2（∠EAP+∠EAB）=2∠PAB=90°，
由三角形內(nèi)角和定理知：∠EPB+∠EBP=90°，即∠EPB=∠EBP=45°，
∴△PEB是等腰直角三角形；故②正確；
③∵∠PBE=∠ABC=45°，
∴∠EBO=∠PBC=45°-∠CBE，
又∵∠EOB=∠PCB=90°，
∴△BPC∽△BEO，得：

PC

EO

=

BP

BE

，即PC•BE=OE•PB，故③正確；
④過(guò)E作EM⊥OC，交AC于M；
易知：△EMC是等腰直角三角形，即MC=

2

EC，∠PME=45°；
∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC，
又∵EC=ME，PE=BE，
∴△PME≌△BCE（SAS），得PM=BC=

2

2

AB，即PM是定值；
由于PM=CM+PC=

2

EC+PC，所以

2

CE+PC的值不變?yōu)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

2

2

AB，故④正確；
因此正確的結(jié)論是①②③④，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形外心的性質(zhì)，線段中垂線性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形相似的判定，三角形全等的判定．此題為幾何綜合題，涉及較多的平面圖形的性質(zhì)，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，特別③、④兩個(gè)結(jié)論的判別，有較大難度．此題可作為優(yōu)秀學(xué)生的選拔．