Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝．O是AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，連結(jié)DB、DE、OC．

(1)從圖中找一對相似三角形(不添加任何字母和輔助線)，并證明你的結(jié)論；

(2)若AD＝2，AE＝1，求CD的長．

Answer 1

答案：
解析：

(1)答案不惟一，如△ADE∽△ABD．證明：∵AC與⊙O切于點D，∴∠ADE＝∠ABD．∴∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD; 　　(2)解法一：∵∠ABC＝．OB是半徑，∴CB切⊙O于點B．∵AC切⊙O于點D，∴CB＝CD．∵AC切⊙O于點D，∴AD2＝AE·AB．∵AD＝2，AE＝1，∴AB＝4．設(shè)CD＝CB＝x，則(x＋2)2＝x2＋42．解這個方程，得x＝3．即DC＝3．解法二(略解)：∵AD2＝AE·AB，∴AB＝4，∴BE＝3．∵∠ABC＝，OB是半徑，∴CB切⊙O于點B．∴OC⊥DB∴DE∥OC．＝，∴DC＝3