Question

已知實系數一元二次方程ax²+2bx+c=0有兩個實根x₁、x₂，且a＞b＞c，a+b+c=0，若則d=|x₁-x₂|的取值范圍為______．

Answer 1

∵實系數一元二次方程ax²+2bx+c=0有兩個實根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-

2b

a

，x₁•x₂=

c

a

，
∴d²=|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（-

2b

a

）²-

4c

a

=

4b2-4ac

a2

=

4(-a-c)2-4ac

a2

=4[（

c

a

）²+

c

a

+1]=4[（

c

a

+

1

2

）²+

3

4

]
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0，a＞-a-c＞c，
解得：-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∵f（

c

a

）=4[（

c

a

）²+

c

a

+1]的對稱軸為：

c

a

=-

1

2

，
∴當-2＜

c

a

＜-

1

2

時，f（

c

a

）=4[（

c

a

）²+

c

a

+1]是減函數，
∴3＜d²＜12，
∴

3

＜d＜2

3

，
即

3

＜|x₁-x₂|＜2

3

．