Question

（2013•宜昌）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動，點C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，經(jīng)過O，C兩點做拋物線y₁=ax（x-t）（a為常數(shù)，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點E，直線OA：y₂=kx（k為常數(shù)，k＞0）

（1）填空：用含t的代數(shù)式表示點A的坐標(biāo)及k的值：A

（t，4）

，k=

4

t

（k＞0）

；
（2）隨著三角板的滑動，當(dāng)a=

1

4

時：
①請你驗證：拋物線y₁=ax（x-t）的頂點在函數(shù)y=-

1

4

x2的圖象上；
②當(dāng)三角板滑至點E為AB的中點時，求t的值；
（3）直線OA與拋物線的另一個交點為點D，當(dāng)t≤x≤t+4，|y₂-y₁|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥t+4時，|y₂-y₁|的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意易得點A的橫坐標(biāo)與點C的相同，點A的縱坐標(biāo)即是線段AC的長度；把點A的坐標(biāo)代入直線OA的解析式來求k的值；
（2）①求得拋物線y₁的頂點坐標(biāo)，然后把該坐標(biāo)代入函數(shù)y=-

1

4

x2，若該點滿足函數(shù)解析式y(tǒng)=-

1

4

x2，即表示該頂點在函數(shù)y=-

1

4

x2圖象上；反之，該頂點不在函數(shù)y=-

1

4

x2圖象上；
②如圖1，過點E作EK⊥x軸于點K．則EK是△ACB的中位線，所以根據(jù)三角形中位線定理易求點E的坐標(biāo)，把點E的坐標(biāo)代入拋物線y₁=

1

4

x（x-t）即可求得t=2；
（3）如圖2，根據(jù)拋物線與直線相交可以求得點D橫坐標(biāo)是

4

at

+4．則t+4=

4

at

+4，由此可以求得a與t的關(guān)系式．

解答：解：（1）∵點C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，
∴點A的坐標(biāo)是（t，4）．
又∵直線OA：y₂=kx（k為常數(shù)，k＞0），
∴4=kt，則k=

4

t

（k＞0）．

（2）①當(dāng)a=

1

4

時，y₁=

1

4

x（x-t），其頂點坐標(biāo)為（

t

2

，-

t2

16

）．
對于y=-

1

4

x2來說，當(dāng)x=

t

2

時，y=-

1

4

×

t2

4

=-

t2

16

，即點（

t

2

，-

t2

16

）在拋物線y=-

1

4

x2上．
故當(dāng)a=

1

4

時，拋物線y₁=ax（x-t）的頂點在函數(shù)y=-

1

4

x2的圖象上；

②如圖1，過點E作EK⊥x軸于點K．
∵AC⊥x軸，
∴AC∥EK．
∵點E是線段AB的中點，
∴K為BC的中點，
∴EK是△ACB的中位線，
∴EK=

1

2

AC=2，CK=

1

2

BC=2，
∴E（t+2，2）．
∵點E在拋物線y₁=

1

4

x（x-t）上，
∴

1

4

（t+2）（t+2-t）=2，
解得t=2．

（3）如圖2，

y= 4 t x y=ax(x-t)

，則

4

t

x=ax（x-t），
解得x=

4

at

+t，或x=0（不合題意，舍去）．．
故點D的橫坐標(biāo)是

4

at

+t．
當(dāng)x=

4

at

+t時，|y₂-y₁|=0，由題意得t+4=

4

at

+t，
解得a=

1

t

（t≥4）．

點評：本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)與二次函數(shù)交點坐標(biāo)等知識點．解題時，注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．