Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．

（1）求證：該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）如果拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸交于A、B兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），且m為正整數(shù)，求此拋物線的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，設(shè)此拋物線在﹣3≤x≤﹣ 之間的部分為圖象G，如果圖象G向右平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后與直線CD有公共點(diǎn)，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由根的判別式，可得：△=（3m+1）2﹣4×m×3=（3m﹣1）2，

∵（3m﹣1）2≥0，

∴△≥0，

∴原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

（2）解：令y=0，那么mx2+（3m+1）x+3=0，

解得：x1=﹣3，x2=﹣ ，

∵拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且m為正整數(shù)，

∴m=1，

∴拋物線的解析式為：y=x2+4x+3；

（3）解：如圖，

∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴C（0，3），

∵當(dāng)y=0時(shí)，x1=﹣3，x2=﹣1，

又∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），

∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

∴D（1，0），

設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，

∴ ，解得： ，

∴直線CD的表達(dá)式為：y=﹣3x+3，

又∵當(dāng)x=﹣ 時(shí)，y= ，

∴點(diǎn)E（﹣ ， ），

∴平移后，點(diǎn)A，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′（﹣3+n，0），E′（﹣ +n， ），

當(dāng)直線y=﹣3x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′（﹣3+n，0）時(shí)，得：﹣3（﹣3+n）+3=0，解得：n=4，

當(dāng)直線y=﹣3x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)E′（﹣ +n， ），時(shí)，得：﹣3（﹣ +n）+3= ，解得：n= ，

∴n的取值范圍是 ≤n≤4．

【解析】（1）要證一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，須證判別式△0；（2）先解方程，其中一根為整數(shù)，m=1;（3）可用n的代數(shù)式表示出拋物線上兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，代入直線解析式，可求出范圍.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)圖象的平移(平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對(duì)x軸左加右減；對(duì)y軸上加下減)，還要掌握拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．