Question

如圖，⊙O的兩條割線AB、AC分別交圓O于D、B、E、C，弦DF∥AC交BC于G．
（1）求證：AC•FG=BC•CG；
（2）若CF=AE．求證：△ABC為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）可以從探求題目的結(jié)論出發(fā)，把問題轉(zhuǎn)化為證明△ABC∽△CFG，再根據(jù)圖形及已知條件，找相似的條件，即兩組角相等．
（2）由圓的兩條平行弦CE，DF所夾的弧相等，則弦DE=CF，可證明△ADE是等腰三角形，再運用圓內(nèi)接四邊形的外角性質(zhì)，證明△ABC是等腰三角形．

解答：證明：（1）連接CF，
∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，∠FGC=∠GCA．
∵∠BCF=∠BDF，
∴∠BCF=∠A．
∴△ABC∽△CFG（AA）．
∴

AC

CG

=

BC

FG

．
∴AC•FG=BC•CG．

（2）連接DE，
∵DF∥AC，
∴DF∥EC，
∴

DE

=

CF

∴DE=CF．
∵CF=AE，
∴DE=AE．
∴∠A=∠ADE．
又∵∠ADE是圓內(nèi)接四邊形的外角，
∴∠ADE=∠ACB．
∴∠A=∠ACB．
∴△ABC是等腰三角形．

點評：本題綜合考查圓周角定理，相似三角形的判定，等腰三角形的判定等知識點的運用能力．