Question

【題目】定義：如圖1，已知銳角內有定點，過點任意作一條直線，分別交射線，于點M，N．若是線段的中點時，則稱直線是的中點直線．如圖2，射線的解析式為與軸的夾角為，，為的中點直線．

（1）求直線的解析式；

（2）若過點任意作一條直線，分別交射線，軸的正半軸于點，，記的面積為，的面積為．求證：．

Answer 1

【答案】（1）直線MN的解析式為；（2）見解析．

【解析】

（1）設點M的坐標為，分別過點M、N作x軸的垂線，利用∽，求出，得到點M的坐標，再利用待定系數法求直線MN解析式即可；

（2）設，過點作軸交于，根據軸，點P是線段MN的中點可證得≌，進而得到即可求證．

（1）解：如圖，設點的坐標為，

作軸，軸，垂足分別為，，

∴，

∴∽，

∴．

∵點是線段的中點，P(3，1)，

∴PB=1，

∴，即，解得．

∴點M的坐標為（1，2），

設直線的解析式為，

把，；，代入，

得，解得，

∴中點直線的解析式為．

（2）證明：如圖，不妨設，過點作軸交于．

則有，．

∵是的中點，∴，∴≌．

∴，∴．

∵，∴，

當與重合時，．

∴．