Question

已知關于x的方程mx²﹣3（m+1）x+2m+3=0．
（1）求證：無論m取任何實數，該方程總有實數根；
（2）若m≠0，拋物線y=mx²﹣3（m+1）x+2m+3與x軸的交點到原點的距離小于2，且交點的橫坐標是整數，求m的整數值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）m的值為﹣1或1．

解析試題分析：（1）先分兩種情況討論，當m=0時方程的解為1和當m≠0時，△=b²-4ac=m+2）²≥0有實數根，得出無論m取任何實數時，方程恒有實數根；
（2）對于拋物線解析式，令y=0，表示出x，根據拋物線與x軸交點的橫坐標都是整數，根據x的范圍即可確定出m的整數值．
解：（1）當m=0時，方程為-3x+3=0，x=1，此一元一次方程有實根，
當m≠0時，∵方程有實數根，
∴△≥0，即[﹣3（m+1）]²﹣4m（2m+3）=（m+3）²≥0，
則m取任何值方程都有實數根；
（2）設y=0，則mx²﹣3（m+1）x+2m+3=0．
∵△=（m+3）²，
∴x=，
∴x₁=，x₂=1，
當x₁=是整數時，可得m=1或m=﹣1或m=3，
∵|x|＜2，m=3不合題意舍去，
∴m的值為﹣1或1．
考點：1.拋物線與x軸的交點；2.一元一次方程的解；3.根的判別式．