Question

【題目】已知函數(shù)的關(guān)系式是L1：y=kx2+（k﹣2）x﹣2

（1）下列說(shuō)法中正確的序號(hào)有 ：

①當(dāng)k=1時(shí)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

②當(dāng)k=2時(shí)，二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

③無(wú)論k為何非零值，二次函數(shù)都經(jīng)過（﹣1，0）和（0，﹣2）；

（2）求證：無(wú)論k為何值時(shí)，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；

（3）已知二次函數(shù)L1的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為P，若k＞0，且△ABP為等邊三角形，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）②③；（2）見解析；（3）2﹣2．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)k=1時(shí)，把y=x2﹣x﹣2配成頂點(diǎn)式即可對(duì)①解析判斷；當(dāng)k=2時(shí)，y=2x2﹣2，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，則可對(duì)②解析判斷；根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征對(duì)③解析判斷；

（2）分類討論：當(dāng)k=0時(shí)，原函數(shù)為一次函數(shù)y=﹣2x﹣2，則圖象一定與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k≠0時(shí)，利用判別式的意義可判斷二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，所以無(wú)論k為何值時(shí)，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；

（3）利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，解方程kx2+（k﹣2）x﹣2=0可得A（，0），B（﹣1，0），頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，﹣），當(dāng)k＞0時(shí)，AB=，如圖1，作DE⊥x軸于E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得DE=AB，即 =×，解得k1=﹣2（舍去），k2=2﹣2，所以k的值為2﹣2．

（1）解：當(dāng)k=1時(shí)，y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣），所以①錯(cuò)誤；

當(dāng)k=2時(shí)，y=2x2﹣2，則拋物線的對(duì)稱軸為y軸，所以②正確；

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=kx2+（k﹣2）x﹣2=k﹣k+2﹣2=0；當(dāng)x=0時(shí)，y=kx2+（k﹣2）x﹣2=﹣2，所以無(wú)論k為何非零值，二次函數(shù)都經(jīng)過（﹣1，0）和（0，﹣2），所以③正確；

故答案為：②③；

（2）證明：當(dāng)k=0時(shí)，一次函數(shù)y=﹣2x﹣2與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（﹣1，0）；

當(dāng)k≠0時(shí)，△=（k﹣2）2﹣4k（﹣2）=（k+2）2≥0，此二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，

所以無(wú)論k為何值時(shí)，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；

（3）解：當(dāng)y=0時(shí)，kx2+（k﹣2）x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=，

設(shè)A（，0），B（﹣1，0），頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣），

AB=+1，如圖1，作DE⊥x軸于E．

∵△ABP為等邊三角形，

∴DE=AB，即 =×，

解得k1=﹣2（舍去），k2=2﹣2，

∴k的值為2﹣2．