Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C，與AB交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ＝CP，連接PQ，設(shè)CP＝m，△CPQ的面積為S．

①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)S最大時(shí)，在拋物線y＝﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸l上，若存在點(diǎn)F，使△DFQ為直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+8；（2）①S＝﹣m2+3m；②滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè)，坐標(biāo)分別為F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．

【解析】

（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y＝x2＋bx＋c，即可求得拋物線的解析式；

（2）①先用m表示出QE的長度，進(jìn)而求出三角形的面積S關(guān)于m的函數(shù)；

②先求出m=5時(shí)S取最大值，再根據(jù)△DFQ為直角三角形分情況求出F的坐標(biāo)．

（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，得

，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+8；

（2）①∵OA＝8，OC＝6，

∴AC＝＝10，

過點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn)，則sin∠ACB＝＝＝，

∴＝，

∴QE＝（10﹣m），

∴S＝CPQE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m；

②∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣5）2+，

∴當(dāng)m＝5時(shí)，S取最大值；

在拋物線對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)F，使△FDQ為直角三角形，

∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+8的對(duì)稱軸為x＝，

∴D的坐標(biāo)為（3，8），

∵CP=AQ=5，

∴CQ=5

過Q點(diǎn)作QG⊥x軸，

∴sin∠ACO==

即

∴QG=4

∴CG=

∴OG=CO-CG=3

∴Q（3，4），

設(shè)F（，n），

當(dāng)∠FDQ＝90°時(shí)，則F在直線AB上，

∴F1（，8），

當(dāng)∠FQD＝90°時(shí)，則F的縱坐標(biāo)與Q點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，

∴F2（，4），

當(dāng)∠DFQ＝90°時(shí)，設(shè)F（，n），

則FD2+FQ2＝DQ2，

即+（8﹣n）2++（n﹣4）2＝16，

解得：n＝6±，

∴F3（，6+），F4（，6﹣），

滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè)，坐標(biāo)分別為F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．