Question

如圖，直角梯形OABC的直角頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點(diǎn)，BD＝OA＝，AB＝3，∠OAB＝45°，E、F分別是線(xiàn)段OA、AB上的兩動(dòng)點(diǎn)，且始終保持∠DEF＝45°．

(1)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)OE＝x，AF＝y(tǒng)，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系；

(3)當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，將△AEF沿EF折疊，得到△，求△與五邊形OEFBC重疊部分的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)D點(diǎn)的坐標(biāo)是　　(2分) 　　(2)連結(jié)OD，如圖，由結(jié)論(1)知：D在∠COA的平分線(xiàn)上，則 　　∠DOE＝∠COD＝45°，又在梯形DOAB中，∠BAO＝45°，∴OD＝AB＝3 　　由三角形外角定理得：∠1＝∠DEA－45°，又∠2＝∠DEA－45° 　　∴∠1＝∠2，∴△ODE∽△AEF　　(4分) 　　∴，即： 　　∴y與x的解析式為： 　　　　(6分) 　　(3)當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，存在EF＝AF或EF＝AE或AF＝AE共3種情況 　　①當(dāng)EF＝AF時(shí)，如圖．∠FAE＝∠FEA＝∠DEF＝45°， 　　∴△AEF為等腰直角三角形．D在E上(E⊥OA)， 　　B在F上(F⊥EF) 　　∴△EF與五邊形OEFBC重疊的面積為 　　四邊形EFBD的面積． 　　∵ 　　∴ 　　 　　∴ 　　∴(也可用)　　(8分) 　�、诋�(dāng)EF＝AE時(shí)，如圖，此時(shí)△EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△EF面積 　　∠DEF＝∠EFA＝45°，DE∥AB，又DB∥EA 　　∴四邊形DEAB是平行四邊形 　　∴AE＝DB＝ 　　∴ 　　　　(10分) 　�、郛�(dāng)AF＝AE時(shí)，如圖，四邊形AEF為菱形且△EF在五邊形OEFBC內(nèi) 　　∴此時(shí)△EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△EF面積 　　由(2)知△ODE∽△AEF，則OD＝OE＝3 　　∴AE＝AF＝OA－OE＝ 　　過(guò)F作FH⊥AE于H，則 　　 　　∴ 　　綜上所述，△EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積為或1或　　(12分)