Question

【題目】已知等邊△ABC中，點D為射線BA上一點，作DE=DC，交直線BC于點E,∠ABC的平分線BF交CD于點F，過點A作AH⊥CD于H，當EDC=30 ，CF= ，則DH= ．

Answer 1

【答案】
【解析】連接AF.

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
∵DE=DC，∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠DCE=75°，
∴∠ACF=75°-60°=15°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF.
在△ABF和△CBF中， ，
∴△ABF≌△CBF，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACF=15°，
∴∠AFH=15°+15°=30°.
∵AH⊥CD，
∴AH= AF= CF= .
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，
∴∠BDE=75°-60°=15°，
∴∠ADH=15°+30°=45°，
∴∠DAH=∠ADH=45°，
∴DH=AH= .
故答案為： .
連接AF.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60° ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DEC=∠DCE=75° ，根據(jù)角的和差得出∠ACF=75°-60°=15°.根據(jù)角平分線的定義得出∠ABF=∠CBF ，從而利用SAS判斷出△ABF≌△CBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF=CF，進而∠FAC=∠ACF=15°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠AFH=15°+15°=30°.根據(jù)含30°角的直角三角形的邊之間的關(guān)系得出AH= AF= CF= .然后根據(jù)角的和差得出∠DAH=∠ADH=45°，從而得出DH的長度。