(2011•宣城模擬)我們知道連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線;通過證明可以得到“三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半”類似三角形中位線,我們把連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線.如圖在梯形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB、CD的中點(diǎn),觀察EF的位置,聯(lián)想三角形中位線的性質(zhì),你能發(fā)現(xiàn)梯形的中位線有什么性質(zhì)?證明你的結(jié)論.
(2)如果點(diǎn)E分線段AB為
AE
EB
=
1
3
,EF∥BC交CD于F,AD=3,BC=5,請(qǐng)你利用第(1)的結(jié)論求出EF=
3.5
3.5
(直接填寫結(jié)果);
(3)如果點(diǎn)E分線段AB為
AE
EB
=
m
n
,EF∥BC交CD 于F,AD=a,BC=b,求EF的長.
分析:(1)連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G,然后利用角邊角證明△ADF與△GCF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=CF、AD=CG,然后再根據(jù)三角形的中位線定理即可得證明;
(2)過點(diǎn)A作AH∥CD交EF于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)H,根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得GF=AD,再根據(jù)平行線分線段成比例定理表示出EG的長度,然后相加即可求出EF的長;
(3)與(2)同理可求出EF的長.
解答:解:(1)證明:如圖1,連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G,
∵AD∥BC,
∴∠D=∠GCF,
∵F是CD的中點(diǎn),
∴DF=FC,
在△ADF與△GCF中,
∠D=∠GCF
DF=FC
∠DFA=∠CFG(對(duì)頂角相等)
,
∴△ADF≌△GCF(ASA),
∴AF=FG,AD=CG,
∴EF∥BC,且EF=
1
2
BG,
∵BG=BC+CG,
∴EF=
1
2
(AD+BC),
即梯形的中位線平行于底邊并且等于兩底和的一半;

(2)如圖2,過點(diǎn)A作AH∥CD交EF于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)H,
∵AD∥BC,
∴GF=CH=AD,
AE
EB
=
1
3
,
EG
BH
=
AE
AB
=
1
4

∴EG=
BH
4
,
∴EF=EG+GF=
BH
4
+AD,
∵AD=3,BC=5,
∴EF=
5-3
4
+3=3.5;

(3)如圖3,過點(diǎn)A作AH∥CD交EF于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)H,
∵AD∥BC,
∴GF=CH=AD,
AE
EB
=
m
n

EG
BH
=
AE
AB
=
m
m+n
,
∴EG=
m
m+n
BH,
∴EF=EG+GF=
m
m+n
BH+AD,
∵AD=a,BC=b,
∴EF=
m
m+n
×(b-a)+a=
mb+na
m+n
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了梯形的中位線與平行線分線段成比例定理,通過作輔助線,把梯形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的中位線進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵.
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mx
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