Question

（2004•十堰）在平面直角坐標系xoy中，已知A（4，0）、B（0，3），P是線段AB上一動點（與點A、B不重合），Q是線段OA上一動點（與點O、A不重合），C為OQ的中點．
（1）求直線AB的解析式：
（2）過點C作AB的垂線，垂足為D，設OC=x，CD=d，寫出d與x的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）當OQ=3時，以OQ為直徑作圓C，試判斷直線AB與圓C的位置關系；
（4）當PQ與x軸垂直時△OPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段OQ的長的取值范圍：若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（4，0），B（0，3）的坐標代入利用待定系數法求得，y=-x+3；
（2）先證明△ACD∽△ABO，利用其成比例線段可求得d=-x+（0＜x＜4）；
（3）當OQ=3時，圓C的半徑為，即x=此時圓心C到直線AB的距離d=，所以d=x，即直線AB與圓C相切；
（4）不仿設圓C與直線AB的切點為M，當PQ不與X軸垂直時，要使△OPQ為直角三角形，須使∠OPQ=90°；
當OQ＜3時，圓C與直線相離，∠OPQ＜90°，
當OQ=3時，圓c與直線相切，
P點與M點重合．∠OPQ=90°，
當3＜OQ＜4時，圓c與線段AB有兩個交點滿足題設條件．所以當3≤OQ＜4時，△OPQ可為直角三角形．
解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），（1分）
將A（4，0），B（0，3）的坐標代入有：?，
∴y=-x+3；（2分）

（2）△ACD∽△ABO
∴
∴d=，
即：d=-x+（0＜x＜4）；（5分）

（3）當OQ=3時，圓C的半徑為（2分），即x=，（3分）
此時圓心C到直線AB的距離d=，
∴d=x，即直線AB與圓C相切；（8分）

（4）不妨設圓C與直線AB的切點為M，當PQ不與X軸垂直時，要使△OPQ為直角三角形，須使∠OPQ=90°，（9分）
當OQ＜3時，圓C與直線相離，∠OPQ＜90°，（10分）
當OQ=3時，圓c與直線相切，P點與M點重合．∠OPQ=90°，（11分）
當3＜OQ＜4時，圓c與線段AB有兩個交點滿足題設條件．
∴當3≤OQ＜4時，△OPQ可為直角三角形．（12分）
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象上點的意義和待定系數法求函數解析式，并會用相似三角形的性質求得對應線段之間的關系，熟練掌握直線與圓的位置關系．
試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．