Question

（2012•徐匯區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，如果△ADC和△BDC的周長之比是1：3，則cot∠BCD=

1

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形的直角的關系可以推出∠BCD=∠A，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義用BD表示CD，用BC表示AC，用CD表示AD，然后根據(jù)△ADC和△BDC的周長的比列式即可求解．

解答：解：∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴CD=BD•cot∠BCD，
AC=BC•cot∠A，
AD=CD•cot∠A，
∴△ADC和△BDC的周長的比為

CD+AD+AC

BD+BC+CD

=

BD•cot∠BCD+CD•cot∠A+BC•cot∠A

BD+BC+CD

=cot∠BCD，
∵△ADC和△BDC的周長之比是1：3，
∴cot∠BCD=

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點評：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，用三角函數(shù)表示出邊的關系是解題的關鍵．