Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)A以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為直角三角形；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥y軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)EF∥PQ時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)t=1或t=時(shí)，△PQA是直角三角形；（3）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，3）．

【解析】試題分析：（1）先利用直線解析式確定A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；

（2）OP=t，AQ=t，則PA=3-t，先判斷∠QAP=45°，討論：當(dāng)∠PQA=90°時(shí)，如圖①，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得PA=AQ，即3-t=t；當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，如圖②，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得AQ=AP，即t=（3-t），然后分別解關(guān)于t的方程即可；

（3）如圖③，延長(zhǎng)FQ交x軸于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，-t+3），易得△AQH為等腰直角三角形，則AH=HQ=AQ=t，則可表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3-t，t），點(diǎn)F的坐標(biāo)為[3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3）]，所以FQ=-t2+3t，再證明四邊形PQFE為平行四邊形得到EP=FQ．即3-t=3t-t2，然后解方程求出t即可得到點(diǎn)F的坐標(biāo).

試題解析：（1）∵y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴當(dāng)y=0時(shí)，x=3，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．

∵將A（3，0），B（0，3）代入得： ，解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，

∴∠QAP=45°．

如圖①所示：∠PQA=90°時(shí)．

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA=t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， ，即．

解得：t=1．

如圖②所示：∠QPA=90°時(shí)．

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA=t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， ，即．

解得：t=．

綜上所述，當(dāng)t=1或t=時(shí)，△PQA是直角三角形．

（3）如圖③所示：

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），則EP=3﹣t．點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3﹣t，t），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），即F（3﹣t，4t﹣t2），則FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2．

∵EP∥FQ，EF∥PQ，

∴四邊形EFQP為平行四邊形．

∴EP=FQ，即3﹣t=3t﹣t2．

解得：t1=1，t2=3（舍去）．

將t=1代入得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，3）．