Question

【題目】我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規(guī)定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．

（1）如果一個正整數(shù)a是另外一個正整數(shù)b的平方，我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．求證：對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）=1；

（2）如果一個兩位正整數(shù)t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”中F（t）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可設m=，由最佳分解定義可得F（m）==1；

（2）根據(jù)“吉祥數(shù)”定義知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，結(jié)合x的范圍可得2位數(shù)的“吉祥數(shù)”，求出每個“吉祥數(shù)”的F（t），比較后可得最大值．

試題解析：（1）對任意一個完全平方數(shù)m，設m=（n為正整數(shù)），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）==1；

（2）設交換t的個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′=10y+x，∵t為“吉祥數(shù)”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，∴y=x+2，∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)，∴“吉祥數(shù)”有：13，24，35，46，57，68，79，∴F（13）=，F(xiàn)（24）==，F(xiàn)（35）=，F(xiàn)（46）=，F(xiàn)（57）=，F(xiàn)（68）=，F(xiàn)（79）=，∵＞＞＞＞＞＞，∴所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)（t）的最大值是．