Question

如圖△ABC是邊長為2的等邊三角形，D是AB邊的中點，P是BC邊上的動點，Q是AC邊上的動點，當(dāng)P、Q的位置在何處時，才能使△DPQ的周長最��？并求出這個最值．

Answer 1

分析：作出D關(guān)于BC、AC的對稱點D'、D''，連接D'D''，DQ，DP，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)將三角形的周長最值問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短的問題，利用等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)即可解答．

解答：解：作D關(guān)于BC、AC的對稱點D'、D''，連接D'D''，DQ，DP．
∵DQ=D''Q，DP=D'P，
∴△DPQ的周長為PQ+DQ+DP=PQ+D''Q+D'P=D'D''，
根據(jù)兩點之間線段最短，D'D''的長即為三角形周長的最小值．
∵∠A=∠B=60°，∠BED=∠AFD=90°，
∴∠α=∠β=90°-60°=30°，
∠D'DD''=180°-30°-30°=120°，
∵D為AB的中點，
∴DF=AD•cos30°=1×

3

2

=

3

2

，AF=

1

2

，
易得△ADF≌△QD''F，
∴QF=AF=

1

2

，
∴AQ=1，BP=1，
Q、P為AC、BC的中點．
∴DD''=

3

2

×2=

3

，
同理，DD'=

3

2

×2=

3

，
∴△DD'D''為直角三角形，
∴∠D'=∠D''=

180°-120°

2

=30°，
∴D''D'=2DD'•cos30°=2×

3

×

3

2

=3．

點評：此題考查了軸對稱--最短路徑問題，涉及正三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識，有一定難度．