Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，tanB=2，將△ABC繞點B順時針旋轉90°后得△BDE，其中點A、C分別運動到點D、E，聯(lián)結AE，AE、CB的延長線相交于點F，那么線段AF的長等于________．

Answer 1

分析：延長DE交AC于H點，根據正切的定義可計算出AC=2，再根據旋轉的性質得∠CBE=90°，∠DEB=∠ACB=90°，BE=BC=1，則四邊形BCHE為正方形，所以CH=HE=1，AH=1，于是可判斷△AHE為等腰直角三角形，則△ACF為等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質得AF=AC=2．
解答：延長DE交AC于H點，如圖，
∵∠ACB=90°，BC=1，tanB=2，
而tanB=，
∴AC=2BC=2，
∵△ABC繞點B順時針旋轉90°后得△BDE，
∴∠CBE=90°，∠DEB=∠ACB=90°，BE=BC=1，
∴四邊形BCHE為正方形，
∴CH=HE=1，
∴AH=2-1=1，
∴△AHE為等腰直角三角形，
∴△ACF為等腰直角三角形，
∴AF=AC=2．
故答案為2．
點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質．