(2009•臨沂)數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問題:如圖1,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平行線CF于點(diǎn)F,求證:AE=EF.

經(jīng)過思考,小明展示了一種正確的解題思路:取AB的中點(diǎn)M,連接ME,則AM=EC,易證△AME≌△ECF,所以AE=EF.
在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:
(1)小穎提出:如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B,C外)的任意一點(diǎn)”,其它條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請說明理由;
(2)小華提出:如圖3,點(diǎn)E是BC的延長線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn),其他條件不變,結(jié)論“AE=EF”仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請說明理由.
【答案】分析:(1)在AB上取一點(diǎn)M,使AM=EC,連接ME,根據(jù)已知條件利用ASA判定△AME≌△ECF,因為全等三角形的對應(yīng)邊相等,所以AE=EF.
(2)在BA的延長線上取一點(diǎn)N,使AN=CE,連接NE,根據(jù)已知利用ASA判定△ANE≌△ECF,因為全等三角形的對應(yīng)邊相等,所以AE=EF.
解答:解:(1)正確.(1分)
證明:在AB上取一點(diǎn)M,使AM=EC,連接ME.(2分)
∴BM=BE,
∴∠BME=45°,
∴∠AME=135°,
∵CF是外角平分線,
∴∠DCF=45°,
∴∠ECF=135°,
∴∠AME=∠ECF,
∵∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
∴△AME≌△ECF(ASA),(5分)
∴AE=EF.(6分)

(2)正確.(7分)
證明:在BA的延長線上取一點(diǎn)N.
使AN=CE,連接NE.(8分)
∴BN=BE,
∴∠N=∠NEC=45°,
∵CF平分∠DCG,
∴∠FCE=45°,
∴∠N=∠ECF,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD∥BE,
∴∠DAE=∠BEA,
即∠DAE+90°=∠BEA+90°,
∴∠NAE=∠CEF,
∴△ANE≌△ECF(ASA)(10分)
∴AE=EF.(11分)
點(diǎn)評:此題主要考查學(xué)生對正方形的性質(zhì),角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定方法的掌握情況.
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(1)在這次問卷調(diào)查中,一共抽查了多少名學(xué)生?
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)估計該校1800名學(xué)生中有多少人最喜愛球類活動?

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A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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