如圖1,四邊形ABCD是正方形,G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合),以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG,連結(jié)BG,DE.我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系:
①想如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系;并證明你的結(jié)論。
②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度,得到如圖2、如圖3情形.請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷.
①BG=DE,BG⊥DE,證明見解析②仍然成立,證明見解析
【解析】(1)BG=DE,BG⊥DE;
∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形,
∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCG=∠DCE,
在△BCG和△DCE中,
BC=DC∠BCG=∠DCE CG=CE,
∴△BCG≌△DCE(SAS),
∴BG=DE;
延長BG交DE于點H,
∵△BCG≌△DCE,
∴∠CBG=∠CDE,
又∠CBG+∠BGC=90°,
∴∠CDE+∠DGH=90°,
∴∠DHG=90°,
∴BH⊥DE,即BG⊥DE;
(2)BG=DE,BG⊥DE仍然成立,
在圖(2)中證明如下
∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形
∴BC=CD,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCG=∠DCE,
∴△BCG≌△DCE(SAS)
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE,
又∵∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90°
∴∠CDE+∠DHO=90°
∴∠DOH=90°
∴BG⊥DE.
(1)根據(jù)正方形的性質(zhì),顯然三角形BCG順時針旋轉(zhuǎn)90°即可得到三角形DCE,從而判斷兩條直線之間的關(guān)系;
(2)結(jié)合正方形的性質(zhì),根據(jù)SAS仍然能夠判定△BCG≌△DCE,從而證明結(jié)論.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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