Question

如圖，已知：直線y=-x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點.

（1）求拋物線的解析式;
（2）若點D的坐標為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點P，使ΔABO與ΔADP相似，求出點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使ΔADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意得，A（3，0），B（0，3）
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3；
（2）由題意可得：△ABO為等腰三角形
若△ABO∽△AP₁D，則

∴DP₁=AD=4
∴P₁（-1，4）
若△ABO∽△ADP₂ ，過點P₂作P₂ M⊥x軸于M，AD=4

∵△ABO為等腰三角形
∴△ADP₂是等腰三角形，由三線合一可得：DM="AM=2=" P₂M，即點M與點C重合
∴P₂（1，2）；
（3）如圖設點E（x,y） ，則
①當P₁(-1,4)時，

∴2|y|=4+|y|
∴|y|=4
∵點E在x軸下方
∴y=-4
代入得x²-4x+3=-4,即x²-4x+7=0
∵△=(-4)2-4×7=-12<0
∴此方程無解；
②當P₂（1，2）時，S四邊形AP₂CE=S三角形ACP₂+S三角形ACE =2+|y|
∴2|y|=2+|y|
∴|y|=2
∵點E在x軸下方
∴y=-2
代入得：x²-4x+3=-2
即x²-4x+5=0，
∵△=(-4)²-4×5=-4<0
∴此方程無解
綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E.

（1）先求得直線y=-x+3與坐標軸的交點坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得結果；
（2）由題意可得△ABO為等腰三角形，再分△ABO∽△AP₁D，△ABO∽△ADP₂ 兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質及相似三角形的性質求解即可；
（3）如圖設點E（x,y），則，分①當P₁(-1,4)時，②當P₂（1，2）時，根據(jù)三角形的面積公式及函數(shù)圖象上的點的坐標的特征。

考點：二次函數(shù)的綜合題
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．