Question

如圖，AB是⊙O的直徑，直線AD與⊙O相切于點A，點C在⊙O上，∠DAC＝∠ACD，直線DC與AB的延長線交于點E．AF⊥ED于點F，交⊙O于點G．

⑴ 求證：DE是⊙O的切線；

⑵ 已知⊙O的半徑是6cm，EC＝8cm， 求GF的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：聯(lián)結(jié)OC．

∵AD是⊙O的切線，∴∠OAD=90°，

∴∠OAC+∠DAC=90°．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．

∵∠DAC=∠ACD，

∴∠OCA+∠ACD=90°，即∠OCD=90°，

∴AD是⊙O的切線．

（2）GF=2.4cm

【解析】

試題分析：⑴ 證明：聯(lián)結(jié)OC．

∵AD是⊙O的切線，∴∠OAD=90°，

∴∠OAC+∠DAC=90°．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．

∵∠DAC=∠ACD，

∴∠OCA+∠ACD=90°，即∠OCD=90°，

∴AD是⊙O的切線．

⑵ 聯(lián)結(jié)BG，

∵OC=6cm，EC=8cm，

∴在Rt△CEO中，OE=10 cm．

∴AE="OE+OA=16" cm．

∵AF⊥ED，

∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．

∴Rt△AEF∽Rt△OEC．

∴＝，

∴AF==="9.6" cm．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠AGB=90°，

∴BG∥EF，

∴＝，

∴AG==="7.2" cm，

∴GF=AF－AG=9.6－7.2=2.4cm．

考點：圓的綜合題，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定

點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生能否運用性質(zhì)進行推理和計算，難度中等。