Question

23、已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，P是邊CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與C、D重合，CP=b，以CP為一邊在正方形ABCD外作正方形PCEF，連接BF、DF．


觀察計(jì)算：
（1）如圖1，當(dāng)a=4，b=1時(shí)，四邊形ABFD的面積為

16

；
（2）如圖2，當(dāng)a=4，b=2時(shí)，四邊形ABFD的面積為

16

；
（3）如圖3，當(dāng)a=4，b=3時(shí)，四邊形ABFD的面積為

16

；
探索發(fā)現(xiàn)：
（4）根據(jù)上述計(jì)算的結(jié)果，你認(rèn)為四邊形ABFD的面積與正方形ABCD的面積之間有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論；
綜合應(yīng)用：
（5）農(nóng)民趙大伯有一塊正方形的土地（如圖5），由于修路被占去一塊三角形的地方△BCE，但決定在DE的右側(cè)補(bǔ)給趙大伯一塊土地，補(bǔ)償后的土地為四邊形ABMD，且四邊形ABMD的面積與原來正方形土地的面積相等，M、E、B三點(diǎn)要在一條直線上，請(qǐng)你畫圖說明，如何確定M點(diǎn)的位置．

Answer 1

分析：四邊形ABFD的面積=梯形CDFE的面積+正方形ABCD的面積-△BFE的面積（1），（2），（3）直接把相關(guān)數(shù)值代入即可求解；
（4）由（1），（2），（3）可推斷出一般結(jié)論：四邊形ABFD的面積=正方形ABCD的面積；利用同底等高的三角形的面積相等，可得S_△BCD=S_△BDF，那么可求得結(jié)論；
（5）仿照前面得到的結(jié)論，利用正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)做出大正方形外部，小正方形一個(gè)內(nèi)角的平分線，與BE的交點(diǎn)即為點(diǎn)M．

解答：解：（1）4×4+（1+4）×1÷2-1×5÷2=16；
（2）4×4+（2+4）×2÷2-2×6÷2=16；
（3）4×4+（3+4）×3÷2-3×7÷2=16；
（4）無論點(diǎn)P在CD邊上的什么位置，四邊形ABFD的面積與正方形ABCD的面積相等，與正方形PCEF的邊長(zhǎng)無關(guān)．
證明：連接BD，CF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，
同理∠FCE=45°，
∴BD∥CF，
∴S_△BCD=S_△BDF，
∴四邊形ABFD的面積與正方形ABCD的面積相等；
（5）如圖6，作BC的延長(zhǎng)線CN，作∠DCN的角平分線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則四邊形ABMD的面積與正方形ABCD的面積相等，點(diǎn)M即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：兩條平行線間的距離相等；同底等高的三角形的面積相等；由具體到一般再到應(yīng)用是數(shù)學(xué)真正的作用．