如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是梯形,AB∥CD,點(diǎn)B(10,0),C(7,4).直線l經(jīng)過A,D兩點(diǎn),且sin∠DAB=.動點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動,同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿B→C→D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動,過點(diǎn)P作PM垂直于x軸,與折線A→D→C相交于點(diǎn)M,當(dāng)P,Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P,Q運(yùn)動的時間為t秒(t>0),△MPQ的面積為S.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為______,直線l的解析式為______;
(2)試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)的t的取值范圍;
(3)試求(2)中當(dāng)t為何值時,S的值最大,并求出S的最大值;
(4)隨著P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上運(yùn)動時,設(shè)PM的延長線與直線l相交于點(diǎn)N,試探究:當(dāng)t為何值時,△QMN為等腰三角形?請直接寫出t的值.

【答案】分析:(1)利用梯形性質(zhì)確定點(diǎn)D的坐標(biāo),利用sin∠DAB=特殊三角函數(shù)值,得到△AOD為等腰直角三角形,從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo);由點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式;
(2)解答本問,需要弄清動點(diǎn)的運(yùn)動過程:
①當(dāng)0<t≤1時,如答圖1所示;
②當(dāng)1<t≤2時,如答圖2所示;
③當(dāng)2<t<時,如答圖3所示.
(3)本問考查二次函數(shù)與一次函數(shù)在指定區(qū)間上的極值,根據(jù)(2)中求出的S表達(dá)式與取值范圍,逐一討論計算,最終確定S的最大值;
(4)△QMN為等腰三角形的情形有兩種,需要分類討論,避免漏解.
解答:解:(1)∵C(7,4),AB∥CD,
∴D(0,4).
∵sin∠DAB=,
∴∠DAB=45°,
∴OA=OD=4,
∴A(-4,0).
設(shè)直線l的解析式為:y=kx+b,則有
,
解得:k=1,b=4,
∴y=x+4.
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(-4,0),直線l的解析式為:y=x+4.

(2)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動的過程中:
①當(dāng)0<t≤1時,如答圖1所示:

過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F,則CF=4,BF=3,由勾股定理得BC=5.
過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E,則BE=BQ•cos∠CBF=5t•=3t.
∴PE=PB-BE=(14-2t)-3t=14-5t,
S=PM•PE=×2t×(14-5t)=-5t2+14t;
②當(dāng)1<t≤2時,如答圖2所示:

過點(diǎn)C、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為F,E,
則CQ=5t-5,PE=AF-AP-EF=11-2t-(5t-5)=16-7t,
S=PM•PE=×2t×(16-7t)=-7t2+16t;
③當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇時,DM+CQ=CD=7,
即(2t-4)+(5t-5)=7,解得t=
當(dāng)2<t<時,如答圖3所示:

MQ=CD-DM-CQ=7-(2t-4)-(5t-5)=16-7t,
S=PM•MQ=×4×(16-7t)=-14t+32.

(3)①當(dāng)0<t≤1時,S=-5t2+14t=-5(t-2+,
∵a=-5<0,拋物線開口向下,對稱軸為直線t=
∴當(dāng)0<t≤1時,S隨t的增大而增大,
∴當(dāng)t=1時,S有最大值,最大值為9;
②當(dāng)1<t≤2時,S=-7t2+16t=-7(t-2+
∵a=-7<0,拋物線開口向下,對稱軸為直線t=,
∴當(dāng)t=時,S有最大值,最大值為
③當(dāng)2<t<時,S=-14t+32
∵k=-14<0,
∴S隨t的增大而減。
又∵當(dāng)t=2時,S=4;
當(dāng)t=時,S=0,
∴0<S<4.
綜上所述,當(dāng)t=時,S有最大值,最大值為

(4)△QMN為等腰三角形,有兩種情形:
①如答圖4所示,點(diǎn)M在線段CD上,
MQ=CD-DM-CQ=7-(2t-4)-(5t-5)=16-7t,MN=DM=2t-4,
由MN=MQ,得16-7t=2t-4,解得t=;

②如答圖5所示,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到C點(diǎn),同時當(dāng)Q剛好運(yùn)動至終點(diǎn)D,
此時△QMN為等腰三角形,t=
故當(dāng)t=或t=時,△QMN為等腰三角形.
點(diǎn)評:本題是典型的運(yùn)動型綜合題,難度較大,解題關(guān)鍵是對動點(diǎn)運(yùn)動過程有清晰的理解.第(3)問中,考查了指定區(qū)間上的函數(shù)極值,增加了試題的難度;另外,分類討論的思想貫穿(2)-(4)問始終,同學(xué)們需要認(rèn)真理解并熟練掌握.
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個動點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長為
5
5

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如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動,路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時,請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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