有兩張完全重合的三角形紙片,小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到三角形AMF(如圖1),若此時(shí)他測(cè)得BD=8cm,
∠ADB=30°.
(1)試探究線段BD與線段MF的數(shù)量關(guān)系,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;
(2)小紅與小亮同學(xué)繼續(xù)探究.他們將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1,AD1交FM于點(diǎn)K(如圖2),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β(0°<β<
90°),當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí),求旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù);
(3)在圖2基礎(chǔ)上小強(qiáng)同學(xué)繼續(xù)探究,過(guò)點(diǎn)K作KC∥B1D1交AB1于點(diǎn)C,連接CM,(如圖3)求證:△ACM∽△AKF;
(4)若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如圖4),F(xiàn)2M2與AD交于點(diǎn)P,A2M2與BD交于點(diǎn)N,當(dāng)NP∥AB時(shí),求平移的距離是多少?

【答案】分析:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以證明△BAD≌△MAF.就可以得出線段BD=MF的數(shù)量關(guān)系.
(2)由條件可知∠F=30°,當(dāng)∠F為頂角時(shí),可以求出∠KAF=75°,從而求出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù),當(dāng)∠F為底角時(shí),可以求出∠KAF=30°,從而求出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù).
(3)由條件可以證明△ACK∽△AB1D1,可以得出=,由AB1=AM,AF=AD1可以得到=.再由∠B1AM=∠D1AF,就可以得出△ACM∽△AKF.從而得出結(jié)論.
(4)由題意知四邊形PNA2A為矩形,設(shè)A2A=x,則PN=x.由條件根據(jù)勾股定理可以求出AF2的值,AP的值,再可以得到△DNP∽△DBA,利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出A2A的值.
解答:(1)線段BD與MF的數(shù)量關(guān)系是:BD=MF.
證明:∵△MAF是由△BAD旋轉(zhuǎn)得來(lái)的,
∴△BAD≌△MAF.
∴BD=MF.
∴BD與MF的數(shù)量關(guān)系是:BD=MF.

(2)解:當(dāng)∠F為頂角時(shí),
∴∠AKF=∠KAF,
∴∠AKF+∠KAF+∠F=180°,且∠F=30°.
∴∠KAF==75°.
∴∠MAK=15°.
即β=15°.
當(dāng)∠F為底角時(shí),
∠F=∠KAF,
∵∠F=30°.
∴∠KAF=30°.
∴∠MAK=60°,即β=60°.
綜上所述:當(dāng)∠F為頂角時(shí),β=15°.
當(dāng)∠F為底角時(shí),β=60°.

(3)證明:∵KC∥B1D1,
∴△ACK∽△AB1D1
=
∵△AB1D1≌△AMF,
∴AB1=AM,AF=AD1,
=
∵∠B1AD1=∠MAF=90°,
∴∠B1AM=∠D1AF,
∴△ACM∽△AKF.

(4)解:如圖4,由題意知四邊形PNA2A為矩形,設(shè)A2A=x,則PN=x.
在Rt△A2M2F2中,
∵M(jìn)2F2=MF=BD=8,∠A2F2M2=∠AFM=∠ADB=30°.
∴M2A2=4,A2F2=,
∴AF2=-x.
在Rt△PAF2中,
∵∠PF2A=30°.
∴AP=AF2•tan30°=(-x)•=4-x.
∴PD=AD-AP=-4+x.
∵NP∥AB,
∴∠DNP=∠B.
∵∠D=∠D,
∴△DNP∽△DBA.
=
=,
解得x=6-
即A2A=6-
故平移的距離是(6-)cm.
點(diǎn)評(píng):本題是一道綜合性比較強(qiáng)的幾何綜合試題.考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的運(yùn)用,等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用.在利用相似三角形的性質(zhì)時(shí)注意使用相等線段的代換.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

有兩張完全重合的矩形紙片,小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF(如圖1),連接BD、MF,若此時(shí)他測(cè)得BD=8cm,∠ADB=30度.
(1)試探究線段BD與線段MF的關(guān)系,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;
(2)小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與△MEF剪去,與小亮同學(xué)繼續(xù)探究.他們將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1,AD1交FM于點(diǎn)K(如圖2),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β(0°<β<90°),當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù);
(3)若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如圖3),F(xiàn)2M2與AD交于點(diǎn)P,A2M2與BD交于點(diǎn)N,當(dāng)NP∥AB時(shí),求平移的距離是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

有兩張完全重合的矩形紙片,小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF(如圖1),連接BD、MF,若此時(shí)他測(cè)得BD=8cm,∠ADB=30°.
(1)請(qǐng)直接寫出AF的長(zhǎng);
(2)小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與△MEF剪去,與小亮同學(xué)繼續(xù)探究.他們將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1,AD1交FM于點(diǎn)K(如圖2),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β(0°<β<90°),當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí),求△AFK的面積(保留根號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

有兩張完全重合的三角形紙片,小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到三角形AMF(如圖1),若此時(shí)他測(cè)得BD=8cm,
∠ADB=30°.
(1)試探究線段BD與線段MF的數(shù)量關(guān)系,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;
(2)小紅與小亮同學(xué)繼續(xù)探究.他們將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1,AD1交FM于點(diǎn)K(如圖2),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β(0°<β<
90°),當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí),求旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù);
(3)在圖2基礎(chǔ)上小強(qiáng)同學(xué)繼續(xù)探究,過(guò)點(diǎn)K作KC∥B1D1交AB1于點(diǎn)C,連接CM,(如圖3)求證:△ACM∽△AKF;
(4)若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如圖4),F(xiàn)2M2與AD交于點(diǎn)P,A2M2與BD交于點(diǎn)N,當(dāng)NP∥AB時(shí),求平移的距離是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年江蘇省中考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)試卷(三)(解析版) 題型:解答題

有兩張完全重合的三角形紙片,小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到三角形AMF(如圖1),若此時(shí)他測(cè)得BD=8cm,
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(1)試探究線段BD與線段MF的數(shù)量關(guān)系,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;
(2)小紅與小亮同學(xué)繼續(xù)探究.他們將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1,AD1交FM于點(diǎn)K(如圖2),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β(0°<β<
90°),當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí),求旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù);
(3)在圖2基礎(chǔ)上小強(qiáng)同學(xué)繼續(xù)探究,過(guò)點(diǎn)K作KC∥B1D1交AB1于點(diǎn)C,連接CM,(如圖3)求證:△ACM∽△AKF;
(4)若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如圖4),F(xiàn)2M2與AD交于點(diǎn)P,A2M2與BD交于點(diǎn)N,當(dāng)NP∥AB時(shí),求平移的距離是多少?

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